L’essentiel du cours 259
Les coordonnées polaires (r,θ) du point M sont définies par :
• r =
# »
OM tel que r ∈ R
+ ;
• θ = ( #» u x ,
# »
OM ), angle orienté de #» u x vers
# »
OM tel que θ ∈ [0; 2π[.
La base polaire ( #» u r , #» u θ ), liée au point M , est définie par :
• #» u r =
# »
OM
# »
OM
, vecteur unitaire dirigé de O vers M ;
• #» u θ vecteur unitaire perpendiculaire au vecteur #» u r et orienté vers les θ croissants.
Définition : Coordonnées polaires et base polaire
Lorsque les vecteurs de la base polaire dépendent du temps dans R, leurs dérivées temporelles
interviennent dans les calculs des vecteurs vitesse et accélération du point M dans R.
Si le point M est en mouvement dans le référentiel R, alors les vecteurs de la base polaire
dépendent du temps. Leurs dérivées temporelles dans R ne sont pas nulles :
•
d #» u r
dt
R
= ˙
θ #» u θ ;
•
d #» u θ
dt
R
= − ˙
θ #» u r .
Méthode 10.3 : Dérivation temporelle des vecteurs de la base polaire
Exercices (10.3) (10.4)
Quelles sont les expressions des vecteurs vitesse #» v et accélération #» a d’un point M
en mouvement circulaire (r = cste) dans un référentiel R ?
#» v =
d
# »
OM
dt
Rt
=
d(r #» u r )
dt
Rt
= r
d #» u r
dt
Rt
= r ˙
θ #» u θ .
#» a =
d #» v
dt
Rt
=
d(r ˙
θ #» u θ )
dt
Rt
=
d(r ˙
θ)
dt
#» u θ + r ˙
θ
d #» u θ
dt
Rt
= r ¨
θ #» u θ + r ˙
θ(− ˙
θ #» u r ) = −r ˙
θ
2 #» u r + r ¨
θ #» u θ .
Pour établir les expressions dans la base polaire des vecteurs vitesse et accélération d’un
point M en mouvement circulaire, il faut :
• exprimer son vecteur position dans la base polaire liée au point M :
# »
OM = r #» u r ;
• dériver le vecteur position en considérant r comme une constante et #» u r comme une
fonction du temps #» u r (t) ; on obtient : #» v = r ˙
θ #» u θ = v #» u θ ;
• dériver le vecteur vitesse en le considérant comme un produit de deux fonctions du
temps r ˙
θ(t) et #» u θ (t) ; on obtient : #» a = −r ˙
θ
2 #» u r + r ¨
θ #» u θ = −
v
2
r
#» u r +
dv
dt
#» u θ .
Méthode 10.4 : Vitesse et accélération d’un point en mouvement circulaire
Exercices (10.5) (10.6)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Les coordonnées polaires (r,θ) du point M sont définies par :
• r =
# »
OM tel que r ∈ R
+ ;
• θ = ( #» u x ,
# »
OM ), angle orienté de #» u x vers
# »
OM tel que θ ∈ [0; 2π[.
La base polaire ( #» u r , #» u θ ), liée au point M , est définie par :
• #» u r =
# »
OM
# »
OM
, vecteur unitaire dirigé de O vers M ;
• #» u θ vecteur unitaire perpendiculaire au vecteur #» u r et orienté vers les θ croissants.
Définition : Coordonnées polaires et base polaire
Lorsque les vecteurs de la base polaire dépendent du temps dans R, leurs dérivées temporelles
interviennent dans les calculs des vecteurs vitesse et accélération du point M dans R.
Si le point M est en mouvement dans le référentiel R, alors les vecteurs de la base polaire
dépendent du temps. Leurs dérivées temporelles dans R ne sont pas nulles :
•
d #» u r
dt
R
= ˙
θ #» u θ ;
•
d #» u θ
dt
R
= − ˙
θ #» u r .
Méthode 10.3 : Dérivation temporelle des vecteurs de la base polaire
Exercices (10.3) (10.4)
Quelles sont les expressions des vecteurs vitesse #» v et accélération #» a d’un point M
en mouvement circulaire (r = cste) dans un référentiel R ?
#» v =
d
# »
OM
dt
Rt
=
d(r #» u r )
dt
Rt
= r
d #» u r
dt
Rt
= r ˙
θ #» u θ .
#» a =
d #» v
dt
Rt
=
d(r ˙
θ #» u θ )
dt
Rt
=
d(r ˙
θ)
dt
#» u θ + r ˙
θ
d #» u θ
dt
Rt
= r ¨
θ #» u θ + r ˙
θ(− ˙
θ #» u r ) = −r ˙
θ
2 #» u r + r ¨
θ #» u θ .
Pour établir les expressions dans la base polaire des vecteurs vitesse et accélération d’un
point M en mouvement circulaire, il faut :
• exprimer son vecteur position dans la base polaire liée au point M :
# »
OM = r #» u r ;
• dériver le vecteur position en considérant r comme une constante et #» u r comme une
fonction du temps #» u r (t) ; on obtient : #» v = r ˙
θ #» u θ = v #» u θ ;
• dériver le vecteur vitesse en le considérant comme un produit de deux fonctions du
temps r ˙
θ(t) et #» u θ (t) ; on obtient : #» a = −r ˙
θ
2 #» u r + r ¨
θ #» u θ = −
v
2
r
#» u r +
dv
dt
#» u θ .
Méthode 10.4 : Vitesse et accélération d’un point en mouvement circulaire
Exercices (10.5) (10.6)
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