248 Chapitre 9
Filtrage linéaire
3. La valeur moyenne de u(t) s’écrit : u(t) =
1
T
T /4
−T /4
Em cos(ωt)dt =
2
ωT
Em =
Em
π
puisque l’alternance négative de e(t) est supprimée par la diode (d’où le qualificatif de redresseur mono-alternance).
De même la moyenne de u
2 (t) s’écrit : u
2 (t) =
1
T
T /4
−T /4
E
2
m cos
2 (ωt)dt =
E
2
m
4
.
Finalement : U0 =
Em
π
et U eff =
Em
2
.
Exercice 9.7
1. C’est un filtre passe-bande, car on remarque que le gain tend vers 0 à haute et basse fréquence.
2. On constate par lecture sur le graphe qu’entre 10
4 Hz et 10
5 Hz (une décade), le gain en décibel chute
de 20 dB. La pente de l’asymptote à haute fréquence est donc de -20 dB/décade. La même analyse
peut être menée entre 10
2 Hz et 10
3 Hz avec la droite asymptotique, et le gain en décibel augmente de
20 dB, d’où une pente pour l’asymptote basse fréquence de +20 dB/décade.
Le filtre est donc un filtre passe-bande d’ordre 2.
3. Nous choisissons H3 =
H0
1 + jQ
f
fc
−
fc
f
.
4. La phase s’annule lorsque f = fc, on en déduit donc graphiquement fc ≈ 1,5 kHz.
Graphiquement, les deux asymptotes se coupent pour G dB = −12 dB = 20 log
H0
Q
. Il vient donc
H0
Q
= 10
−12/20 . De plus, en fc, G dB = −6 dB = 20 log H0, d’où H0 = 0,50 et Q = 2,0 aux incertitudes
de pointés près
Exercice 9.8
1. À l’aide de la notion de diviseur de tension, nous obtenons : H(ω) =
1
1 + jRCω
. La fréquence de
coupure à −3 dB est fc =
1
2πRC
. Nous devons donc choisir R =
1
2πfcC
= 1,6 · 10
4 Ω.
2. Nous pouvons écrire H(ω) = G(ω) exp(jφ), puis G dB (ω) = 20 log G(ω). Précisons le comportement
asymptotique :
— Si f fc : H 1 et donc G dB 0 et φ 0.
— Si f fc : H
1
jRC2πf
donc G dB −20 log (RC2πf ) et φ −
π
2
.
— H(2πfc) =
1
1 + j
donc G dB (2πfc) = −3 dB et φ(2πfc) = −
π
4
.
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Filtrage linéaire
3. La valeur moyenne de u(t) s’écrit : u(t) =
1
T
T /4
−T /4
Em cos(ωt)dt =
2
ωT
Em =
Em
π
puisque l’alternance négative de e(t) est supprimée par la diode (d’où le qualificatif de redresseur mono-alternance).
De même la moyenne de u
2 (t) s’écrit : u
2 (t) =
1
T
T /4
−T /4
E
2
m cos
2 (ωt)dt =
E
2
m
4
.
Finalement : U0 =
Em
π
et U eff =
Em
2
.
Exercice 9.7
1. C’est un filtre passe-bande, car on remarque que le gain tend vers 0 à haute et basse fréquence.
2. On constate par lecture sur le graphe qu’entre 10
4 Hz et 10
5 Hz (une décade), le gain en décibel chute
de 20 dB. La pente de l’asymptote à haute fréquence est donc de -20 dB/décade. La même analyse
peut être menée entre 10
2 Hz et 10
3 Hz avec la droite asymptotique, et le gain en décibel augmente de
20 dB, d’où une pente pour l’asymptote basse fréquence de +20 dB/décade.
Le filtre est donc un filtre passe-bande d’ordre 2.
3. Nous choisissons H3 =
H0
1 + jQ
f
fc
−
fc
f
.
4. La phase s’annule lorsque f = fc, on en déduit donc graphiquement fc ≈ 1,5 kHz.
Graphiquement, les deux asymptotes se coupent pour G dB = −12 dB = 20 log
H0
Q
. Il vient donc
H0
Q
= 10
−12/20 . De plus, en fc, G dB = −6 dB = 20 log H0, d’où H0 = 0,50 et Q = 2,0 aux incertitudes
de pointés près
Exercice 9.8
1. À l’aide de la notion de diviseur de tension, nous obtenons : H(ω) =
1
1 + jRCω
. La fréquence de
coupure à −3 dB est fc =
1
2πRC
. Nous devons donc choisir R =
1
2πfcC
= 1,6 · 10
4 Ω.
2. Nous pouvons écrire H(ω) = G(ω) exp(jφ), puis G dB (ω) = 20 log G(ω). Précisons le comportement
asymptotique :
— Si f fc : H 1 et donc G dB 0 et φ 0.
— Si f fc : H
1
jRC2πf
donc G dB −20 log (RC2πf ) et φ −
π
2
.
— H(2πfc) =
1
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donc G dB (2πfc) = −3 dB et φ(2πfc) = −
π
4
.
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