246 Chapitre 9
Filtrage linéaire
7. Le gain vaut
1
√
2
lorsque
1 + Q 2
ω
ω0
−
ω0
ω
2
=
√
2 soit quand Q
ω
ω0
−
ω0
ω
= ±1. Les deux
solutions positives de cette équation sont alors : ω = ω0
±1 +
√
Δ
2Q
avec Δ = 1 + 4Q
2 . L’écart entre ces
deux pulsations est donc Δω =
ω0
Q
. Lorsque la résistance augmente, le facteur de qualité Q diminue et
la largeur de bande passante Δω augmente : le filtre devient moins sélectif.
Exercice 9.3
1. Posons H =
s
e
= G exp(jφ). Ainsi, G est le gain du filtre et φ l’avance de phase de la tension de sortie
sur la tension d’entrée. Nous relevons les valeurs : G = 0,7 et φ = −42° (la sortie est en retard de 42°
sur l’entrée).
2. La fonction de transfert s’obtient en utilisant la notion de diviseur de tension : H =
R
R + r + jLω
.
3. Dans la bande passante H = H0 =
R
R + r
= 0,89 compatible avec le gain expérimental.
4. La fréquence de coupure théorique s’écrit fc =
R + r
2πL
= 3,5 · 10
2 Hz compatible avec la fréquence de
coupure expérimentale 3,6 · 10
2 Hz obtenue à −3 dB.
5. Le gain théorique G =
H0
1 +
f
fc
2
= 0,67 et le déphasage théorique φ = −arctan
f
fc
= −41°
confirment les valeurs expérimentales.
6. Pour f fc, H
H0fc
jf
. Le gain en décibel s’écrit alors G dB 20 log (H0fc) − 20 log(f ) : nous
retrouvons bien la pente à −20 dB par décade dans ce domaine de fréquences.
7. Pour le fondamental, G H0
fc
f
= 6,1 · 10
−3 soit G dB = −44 dB très inférieur au gain en fréquence
nul qui est de −1,0 dB.
Le fondamental et par conséquent les harmoniques du signal étant très atténués, il ne reste que la
composante continue
E (valeur moyenne de e(t)) dans la bande passante : le signal s(t) est donc
continu, et sa valeur est H0
E(0).
8. Pour le rapport cyclique 0,5, la tension aux bornes de la résistance R est s = 1,8 V d’où la puissance
dissipée P = s
2 /R = 0,15 W. La puissance dissipée dans la bobine (c’est-à-dire dans sa résistance
interne) est P b = r
s
R
2
=
r
R
P = 0,018 W. Pour un transfert maximal de puissance dans R,
l’inconvénient est ici la dissipation d’énergie dans la bobine due à son caractère résistif.
Exercice 9.4
1. En utilisant la notion de diviseur de tension : H =
1
jCω
R + r + jLω +
1
jCω
=
1
1 − LCω 2 + (R + r)jCω
.
Il vient : H =
1
1 −
ω
ω0
2
+ j
1
Q
ω
ω0
avec ω0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
.
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Filtrage linéaire
7. Le gain vaut
1
√
2
lorsque
1 + Q 2
ω
ω0
−
ω0
ω
2
=
√
2 soit quand Q
ω
ω0
−
ω0
ω
= ±1. Les deux
solutions positives de cette équation sont alors : ω = ω0
±1 +
√
Δ
2Q
avec Δ = 1 + 4Q
2 . L’écart entre ces
deux pulsations est donc Δω =
ω0
Q
. Lorsque la résistance augmente, le facteur de qualité Q diminue et
la largeur de bande passante Δω augmente : le filtre devient moins sélectif.
Exercice 9.3
1. Posons H =
s
e
= G exp(jφ). Ainsi, G est le gain du filtre et φ l’avance de phase de la tension de sortie
sur la tension d’entrée. Nous relevons les valeurs : G = 0,7 et φ = −42° (la sortie est en retard de 42°
sur l’entrée).
2. La fonction de transfert s’obtient en utilisant la notion de diviseur de tension : H =
R
R + r + jLω
.
3. Dans la bande passante H = H0 =
R
R + r
= 0,89 compatible avec le gain expérimental.
4. La fréquence de coupure théorique s’écrit fc =
R + r
2πL
= 3,5 · 10
2 Hz compatible avec la fréquence de
coupure expérimentale 3,6 · 10
2 Hz obtenue à −3 dB.
5. Le gain théorique G =
H0
1 +
f
fc
2
= 0,67 et le déphasage théorique φ = −arctan
f
fc
= −41°
confirment les valeurs expérimentales.
6. Pour f fc, H
H0fc
jf
. Le gain en décibel s’écrit alors G dB 20 log (H0fc) − 20 log(f ) : nous
retrouvons bien la pente à −20 dB par décade dans ce domaine de fréquences.
7. Pour le fondamental, G H0
fc
f
= 6,1 · 10
−3 soit G dB = −44 dB très inférieur au gain en fréquence
nul qui est de −1,0 dB.
Le fondamental et par conséquent les harmoniques du signal étant très atténués, il ne reste que la
composante continue
E (valeur moyenne de e(t)) dans la bande passante : le signal s(t) est donc
continu, et sa valeur est H0
E(0).
8. Pour le rapport cyclique 0,5, la tension aux bornes de la résistance R est s = 1,8 V d’où la puissance
dissipée P = s
2 /R = 0,15 W. La puissance dissipée dans la bobine (c’est-à-dire dans sa résistance
interne) est P b = r
s
R
2
=
r
R
P = 0,018 W. Pour un transfert maximal de puissance dans R,
l’inconvénient est ici la dissipation d’énergie dans la bobine due à son caractère résistif.
Exercice 9.4
1. En utilisant la notion de diviseur de tension : H =
1
jCω
R + r + jLω +
1
jCω
=
1
1 − LCω 2 + (R + r)jCω
.
Il vient : H =
1
1 −
ω
ω0
2
+ j
1
Q
ω
ω0
avec ω0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
.
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