22 Chapitre 1
Oscillateur harmonique
• (3) : l’équation peut se réécrire ¨
x+
b
a
x = 0 ; c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation
ω3 =
b/a. On peut donc écrire x3(t) = A cos(ω3t) + B sin(ω3t). La prise en compte des conditions
initiales amène à : x3(0) = A = 0,0 m et ˙
x3(0) = B
√ ω3 = 1,0 m · s
−1 , soit x3(t) = 1,4 sin(ω3t) avec
ω3 = 0,71 rad · s
−1 .
Exercice 1.6
1. À l’équilibre, ¨
x = 0, en réinjectant ceci dans l’équation différentielle, nous obtenons la position d’équilibre de M : xeq = −xe.
2. On réinjecte x(t) = x0 cos(ω0t) + xeq dans l’équation différentielle, on obtient −2ω
2
0 x0 cos(ω0t) = 0,
ce qui ne peut être nul pour tout t : cette expression ne satisfait donc pas à l’équation différentielle
donnée.
3. En réinjectant cette expression dans l’équation différentielle, on obtient 0 = 0 : cette expression est
donc solution de l’équation différentielle. Cette solution n’est pas périodique et elle diverge avec le
temps. xeq ne peut donc pas être une position d’équilibre stable.
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