Corrections 21
Exercice 1.3
1. La fréquence d’oscillation d’un corps de masse M au bout du ressort de raideur k est donnée par
f =
1
2π
k
M
, soit M =
k
4π 2 f 2 . On aura donc ainsi m0 =
k
4π 2 f
2
0
et m + m0 =
k
4π 2 f
2
1
=
kT
2
4π 2 . On en
déduit
m + m0
m0
= T
2 f
2
0 , soit m = m0(T
2 f
2
0 − 1) = 69 kg.
2. k = 4π
2 f
2
0 m0 = 6,0 · 10
2 N · m
−1 .
Exercice 1.4
1. L’énergie potentielle élastique de M est Epe =
1
2
k(x−l0)
2 , son énergie cinétique Ec =
1
2
mv
2 , le système
est conservatif donc Em =
1
2
k(x − l0)
2 +
1
2
mv
2 =
1
2
k(l0 − a − l0)
2 . On aura ainsi :
1
2
mv
2 =
1
2
ka
2 −
1
2
k(x − l0)
2 . La vitesse maximale est obtenue pour x = l0 et on obtient :
vmax = a
k
m
= 9,9 m · s
−1 .
2. a. On cherche x(t) = l0 + A cos(ω0t) + B sin(ω0t). La prise en compte des conditions initiales amène
à x(0) = l0 − a = l0 + A et ˙
x(0) = 0 = Bω0. On a donc x(t) = l0 − a cos(ω0t).
b. La vitesse de M est ˙
x(t) = aω0 sin(ω0t). La vitesse maximale est donc vmax = a
k
m
.
Exercice 1.5
1. a¨ x s’exprime en m · s
−2 . L’unité de b sera donc s
−2 , et l’unité de c m · s
−2 .
2. • Cas (1) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω1 =
√
b = 2,2 rad · s
−1 . On
peut donc écrire x1(t) = A cos(ω1t) + B sin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amène
à : x1(0) = A = 1,0 m et ˙
x1(0) = 0 = Bω1, soit x1(t) = 1,0 cos(ω1t). La période de l’oscillateur est
T1 =
2π
ω1
= 2,8 s.
• Cas (2) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsation ω2 =
√
b,
soit ω2 = 2,4 rad · s
−1 . On peut donc écrire x2(t) = A cos(ω2t) + B sin(ω2t) +
c
b
. La prise en
compte des conditions initiales amène à : x2(0) = A +
4
3
= 1,0 m et ˙
x2(0) = 0 = Bω2, soit
x2(t) = −0,33 cos(ω2t) + 1,3. La période de l’oscillateur est T2 =
2π
ω2
= 2,6 s.
• (3) : l’équation peut se réécrire ¨
x +
b
a
x = 0 ; c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de
pulsation ω3 =
b/a = 0,71 rad · s
−1 . On peut donc écrire x3(t) = A cos(ω3t) + B sin(ω3t). La
prise en compte des conditions initiales amène à : x3(0) = A = 1,0 m et ˙
x3(0) = 0 = Bω3, soit
x3(t) = 1,0 cos(ω3t). La période de l’oscillateur est T3 =
2π
ω3
= 8,9 s.
3. • Cas (1) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω1 =
√
b. On peut donc écrire
x1(t) = A cos(ω1t) + B sin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amène à :
x1(0) = A = 0,0 m et ˙
x1(0) = Bω1 = 1,0 m · s
−1 , soit x1(t) = 0,45 sin(ω1t).
• Cas (2) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsation ω2 =
√
b.
On peut donc écrire x2(t) = A cos(ω2t) + B sin(ω2t) +
c
b
. La prise en compte des conditions initiales
amène à : x2(0) = A +
4
3
= 0,0 m et ˙
x2(0) = Bω2 = 1,0 m · s
−1 , soit :
x2(t) = −1,3 cos(ω2t) + 0,41 sin(ω2t) + 1,3.
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Exercice 1.3
1. La fréquence d’oscillation d’un corps de masse M au bout du ressort de raideur k est donnée par
f =
1
2π
k
M
, soit M =
k
4π 2 f 2 . On aura donc ainsi m0 =
k
4π 2 f
2
0
et m + m0 =
k
4π 2 f
2
1
=
kT
2
4π 2 . On en
déduit
m + m0
m0
= T
2 f
2
0 , soit m = m0(T
2 f
2
0 − 1) = 69 kg.
2. k = 4π
2 f
2
0 m0 = 6,0 · 10
2 N · m
−1 .
Exercice 1.4
1. L’énergie potentielle élastique de M est Epe =
1
2
k(x−l0)
2 , son énergie cinétique Ec =
1
2
mv
2 , le système
est conservatif donc Em =
1
2
k(x − l0)
2 +
1
2
mv
2 =
1
2
k(l0 − a − l0)
2 . On aura ainsi :
1
2
mv
2 =
1
2
ka
2 −
1
2
k(x − l0)
2 . La vitesse maximale est obtenue pour x = l0 et on obtient :
vmax = a
k
m
= 9,9 m · s
−1 .
2. a. On cherche x(t) = l0 + A cos(ω0t) + B sin(ω0t). La prise en compte des conditions initiales amène
à x(0) = l0 − a = l0 + A et ˙
x(0) = 0 = Bω0. On a donc x(t) = l0 − a cos(ω0t).
b. La vitesse de M est ˙
x(t) = aω0 sin(ω0t). La vitesse maximale est donc vmax = a
k
m
.
Exercice 1.5
1. a¨ x s’exprime en m · s
−2 . L’unité de b sera donc s
−2 , et l’unité de c m · s
−2 .
2. • Cas (1) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω1 =
√
b = 2,2 rad · s
−1 . On
peut donc écrire x1(t) = A cos(ω1t) + B sin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amène
à : x1(0) = A = 1,0 m et ˙
x1(0) = 0 = Bω1, soit x1(t) = 1,0 cos(ω1t). La période de l’oscillateur est
T1 =
2π
ω1
= 2,8 s.
• Cas (2) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsation ω2 =
√
b,
soit ω2 = 2,4 rad · s
−1 . On peut donc écrire x2(t) = A cos(ω2t) + B sin(ω2t) +
c
b
. La prise en
compte des conditions initiales amène à : x2(0) = A +
4
3
= 1,0 m et ˙
x2(0) = 0 = Bω2, soit
x2(t) = −0,33 cos(ω2t) + 1,3. La période de l’oscillateur est T2 =
2π
ω2
= 2,6 s.
• (3) : l’équation peut se réécrire ¨
x +
b
a
x = 0 ; c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de
pulsation ω3 =
b/a = 0,71 rad · s
−1 . On peut donc écrire x3(t) = A cos(ω3t) + B sin(ω3t). La
prise en compte des conditions initiales amène à : x3(0) = A = 1,0 m et ˙
x3(0) = 0 = Bω3, soit
x3(t) = 1,0 cos(ω3t). La période de l’oscillateur est T3 =
2π
ω3
= 8,9 s.
3. • Cas (1) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique, de pulsation ω1 =
√
b. On peut donc écrire
x1(t) = A cos(ω1t) + B sin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amène à :
x1(0) = A = 0,0 m et ˙
x1(0) = Bω1 = 1,0 m · s
−1 , soit x1(t) = 0,45 sin(ω1t).
• Cas (2) : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsation ω2 =
√
b.
On peut donc écrire x2(t) = A cos(ω2t) + B sin(ω2t) +
c
b
. La prise en compte des conditions initiales
amène à : x2(0) = A +
4
3
= 0,0 m et ˙
x2(0) = Bω2 = 1,0 m · s
−1 , soit :
x2(t) = −1,3 cos(ω2t) + 0,41 sin(ω2t) + 1,3.
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