214 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
4. La relation entre U et E peut s’écrire : U =
E
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
.
En identifiant : f0 =
1
2π
√
LC
= 1,6 kHz et Q = R
C
L
= 1,0.
5. Cette résonance ne peut pas être considérée comme aiguë.
Exercice 8.8
1. Nous reconnaissons un diviseur de tension :
u(t) =
jLω
R + jLω +
1
jCω
e(t).
2. L’expression de u(t) peut s’écrire :
u(t) =
jQ
ω
ω0
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
e(t).
Pour X = 0, ϕ = π ; pour X = 1, ϕ =
π
2
et
ϕ tend vers 0 lorsque X → ∞.
Esquissons ci-contre l’allure de ϕ avec X :
0
1
2
3
4
5
6
X
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
ϕ (
◦
)
3. Nous déduisons Um =
QX
(1 + Q 2
X −
1
X
2
Em. Pour X = 0, Um = 0 ; pour X = 1, Um = QEm et
Um → Em lorsque X 1.
4. Um peut aussi s’écrire Um =
Q
1
X 2 + Q 2
1 −
1
X 2
2
Em. Posons x =
1
X 2 puis F (x) = x + Q
2 (1 − x)
2 .
Dérivons F (x) par rapport à x afin de trouver le minimum de F et donc le maximum de Um :
dF
dx
= 1 − 2Q
2 (1 − x) = 0 ⇔ x = 1 −
1
2Q 2 .
Si Q >
1
√
2
, il existe une valeur Xm de X pour laquelle Um est maximal : Xm =
1
1 −
1
2Q 2
.
Nous remarquons que Xm > 1 mais qu’il tend vers 1 lorsque Q devient très grand devant 1.
5. Sur la courbe de phase, ϕ = 90° pour f = f0 = 7,1 · 10
2 Hz. Nous lisons sur le diagramme de gain
la fréquence fm = 7,2 · 10
2 Hz pour laquelle H est maximal. La valeur maximale du gain est alors
Hmax = 3,2. Or Hmax = H(Xm) =
Q
1 − 1/(4Q 2 )
Q si 4Q
2 1.
Ainsi nous déduisons Q = 3,2 et ω0 = 2πf0 = 4,5 · 10
3 rad · s
−1 . L’hypothèse 4Q
2 1 est vérifiée.
Exercice 8.9
1. Utilisons la loi des mailles : e(t) = Ri(t) + L
di
dt
(t) +
q(t)
C
.
2. Multiplions l’équation précédente par i(t) :
partagelivrescpge.blogspot.com
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
4. La relation entre U et E peut s’écrire : U =
E
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
.
En identifiant : f0 =
1
2π
√
LC
= 1,6 kHz et Q = R
C
L
= 1,0.
5. Cette résonance ne peut pas être considérée comme aiguë.
Exercice 8.8
1. Nous reconnaissons un diviseur de tension :
u(t) =
jLω
R + jLω +
1
jCω
e(t).
2. L’expression de u(t) peut s’écrire :
u(t) =
jQ
ω
ω0
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
e(t).
Pour X = 0, ϕ = π ; pour X = 1, ϕ =
π
2
et
ϕ tend vers 0 lorsque X → ∞.
Esquissons ci-contre l’allure de ϕ avec X :
0
1
2
3
4
5
6
X
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
ϕ (
◦
)
3. Nous déduisons Um =
QX
(1 + Q 2
X −
1
X
2
Em. Pour X = 0, Um = 0 ; pour X = 1, Um = QEm et
Um → Em lorsque X 1.
4. Um peut aussi s’écrire Um =
Q
1
X 2 + Q 2
1 −
1
X 2
2
Em. Posons x =
1
X 2 puis F (x) = x + Q
2 (1 − x)
2 .
Dérivons F (x) par rapport à x afin de trouver le minimum de F et donc le maximum de Um :
dF
dx
= 1 − 2Q
2 (1 − x) = 0 ⇔ x = 1 −
1
2Q 2 .
Si Q >
1
√
2
, il existe une valeur Xm de X pour laquelle Um est maximal : Xm =
1
1 −
1
2Q 2
.
Nous remarquons que Xm > 1 mais qu’il tend vers 1 lorsque Q devient très grand devant 1.
5. Sur la courbe de phase, ϕ = 90° pour f = f0 = 7,1 · 10
2 Hz. Nous lisons sur le diagramme de gain
la fréquence fm = 7,2 · 10
2 Hz pour laquelle H est maximal. La valeur maximale du gain est alors
Hmax = 3,2. Or Hmax = H(Xm) =
Q
1 − 1/(4Q 2 )
Q si 4Q
2 1.
Ainsi nous déduisons Q = 3,2 et ω0 = 2πf0 = 4,5 · 10
3 rad · s
−1 . L’hypothèse 4Q
2 1 est vérifiée.
Exercice 8.9
1. Utilisons la loi des mailles : e(t) = Ri(t) + L
di
dt
(t) +
q(t)
C
.
2. Multiplions l’équation précédente par i(t) :
partagelivrescpge.blogspot.com