Corrections 215
e(t)i(t) = Ri
2 (t) + L
di
dt
(t)i(t) +
q(t)
C
i(t) = Ri
2 (t) +
d
dt
1
2
Li
2 (t) +
1
2
q
2 (t)
C
.
La puissance e(t)i(t) fournie par le générateur sert à compenser la puissance Ri
2 (t) dissipée par effet
Joule et à stocker les énergies
1
2
Li
2 (t) et
1
2
q
2 (t)
C
respectivement dans la bobine et dans le condensateur.
3. Si f (t) est périodique de période T , alors
T
0
df
dt
(t)dt = [f (t)]
T
0 = 0. Ainsi, l’énergie fournie par le
générateur sur une période
T
0
e(t)i(t)dt est égale à l’énergie
T
0
Ri
2 (t)dt consommée dans la résistance
pendant la même période.
4. Utilisons la notation complexe : i(t) =
e(t)
R + j
Lω −
1
Cω
. En écrivant i(t) = Im cos(ωt + ϕ), nous
obtenons Im =
Em
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
. L’énergie dissipée par effet Joule sur une période s’écrit donc :
T
0
Ri
2 (t)dt = RI
2
m
T
0
cos
2 (ωt + ϕ)dt = RT
I
2
m
2
qui est maximale pour ω = ω0.
Exercice 8.10
1. Les forces s’appliquant sur M sont la force de rappel, la force de frottement fluide et le poids. À
l’équilibre, la force de rappel (avec z = 0 et zC,eq = R) est compensée par le poids. Ainsi, en mouvement,
la résultante du poids et de la force de rappel peut s’écrire : −k
z(t) − Em cos
2π
x(t)
λ
#» u z .
Appliquons alors la loi de la quantité de mouvement à m dans le référentiel R, écrite en projection
suivant Oz : m¨ z + k (z(t) − zC (t) + R) + h( ˙
z − ˙
zC ) = 0.
Nous en déduisons : ¨
z +
h
m
˙
z +
k
m
z =
k
m
(zC (t) − R) +
h
m
˙
zC (t).
2. La vitesse du véhicule est constante : x(t) = vt + A où A = 0 puisque C se trouve à la verticale de O
à l’instant initial. Finalement : x(t) = vt.
3. Posons ω =
2π
λ
v. Nous pouvons alors chercher z(t) en utilisant la notation complexe et cherchons z(t)
sous la forme z(t) = Z m exp(iωt).
L’équation du mouvement devient :
−ω
2 + jω
h
m
+
k
m
Z m =
k
m
Em + jω
h
m
Em.
Nous en déduisons Z m =
k
m
+ jω
h
m
k
m
− ω 2 + jω
h
m
Em =
1 + j
ω
Qω0
1 −
ω
2
ω
2
0
+ j
ω
Qω0
Em avec ω0 =
k
m
et Q =
√
km
h
.
L’amplitude Zm des oscillations verticales est le module de Z m . Nous obtenons bien l’amplitude donnée
dans l’énoncé.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
e(t)i(t) = Ri
2 (t) + L
di
dt
(t)i(t) +
q(t)
C
i(t) = Ri
2 (t) +
d
dt
1
2
Li
2 (t) +
1
2
q
2 (t)
C
.
La puissance e(t)i(t) fournie par le générateur sert à compenser la puissance Ri
2 (t) dissipée par effet
Joule et à stocker les énergies
1
2
Li
2 (t) et
1
2
q
2 (t)
C
respectivement dans la bobine et dans le condensateur.
3. Si f (t) est périodique de période T , alors
T
0
df
dt
(t)dt = [f (t)]
T
0 = 0. Ainsi, l’énergie fournie par le
générateur sur une période
T
0
e(t)i(t)dt est égale à l’énergie
T
0
Ri
2 (t)dt consommée dans la résistance
pendant la même période.
4. Utilisons la notation complexe : i(t) =
e(t)
R + j
Lω −
1
Cω
. En écrivant i(t) = Im cos(ωt + ϕ), nous
obtenons Im =
Em
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
. L’énergie dissipée par effet Joule sur une période s’écrit donc :
T
0
Ri
2 (t)dt = RI
2
m
T
0
cos
2 (ωt + ϕ)dt = RT
I
2
m
2
qui est maximale pour ω = ω0.
Exercice 8.10
1. Les forces s’appliquant sur M sont la force de rappel, la force de frottement fluide et le poids. À
l’équilibre, la force de rappel (avec z = 0 et zC,eq = R) est compensée par le poids. Ainsi, en mouvement,
la résultante du poids et de la force de rappel peut s’écrire : −k
z(t) − Em cos
2π
x(t)
λ
#» u z .
Appliquons alors la loi de la quantité de mouvement à m dans le référentiel R, écrite en projection
suivant Oz : m¨ z + k (z(t) − zC (t) + R) + h( ˙
z − ˙
zC ) = 0.
Nous en déduisons : ¨
z +
h
m
˙
z +
k
m
z =
k
m
(zC (t) − R) +
h
m
˙
zC (t).
2. La vitesse du véhicule est constante : x(t) = vt + A où A = 0 puisque C se trouve à la verticale de O
à l’instant initial. Finalement : x(t) = vt.
3. Posons ω =
2π
λ
v. Nous pouvons alors chercher z(t) en utilisant la notation complexe et cherchons z(t)
sous la forme z(t) = Z m exp(iωt).
L’équation du mouvement devient :
−ω
2 + jω
h
m
+
k
m
Z m =
k
m
Em + jω
h
m
Em.
Nous en déduisons Z m =
k
m
+ jω
h
m
k
m
− ω 2 + jω
h
m
Em =
1 + j
ω
Qω0
1 −
ω
2
ω
2
0
+ j
ω
Qω0
Em avec ω0 =
k
m
et Q =
√
km
h
.
L’amplitude Zm des oscillations verticales est le module de Z m . Nous obtenons bien l’amplitude donnée
dans l’énoncé.
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