212 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
2. On en déduit graphiquement :
• U
2
m = (RIm)
2 +
LωIm −
I m
Cω
2
soit
U m
Im
=
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
;
• tan(ϕ) =
1
R
Lω −
1
Cω
;
avec 0 ≤ ϕ <
π
2
si ω ≥ ω0 =
1
√
LC
et −
π
2
< ϕ < 0 si ω < ω0.
3. Numériquement :
Um
Im
= 1,4 · 10
3 Ω et ϕ = −44°.
#»
U R
Um
#»
U
#»
U C
RIm
Im
Cω
LωIm
#»
U L
ϕ
Exercice 8.5
1. Par définition, les grandeurs complexes s’écrivent : e(t) = Em exp(jωt), u(t) = Um exp(jωt + ϕ) et les
amplitudes complexes : E = Em et U = Um exp(jϕ).
2. Nous reconnaissons un diviseur de tension. En notant Z e l’impédance complexe équivalente à l’association LC parallèle :
U =
Z e
R + Z e
E =
1
1 +
R
Z e
E avec
1
Z e
= jCω +
1
jLω
=⇒ U =
1
1 + jR
Cω −
1
Lω
Em.
3. Nous en déduisons pour l’amplitude : Um =
1
1 + R 2
Cω −
1
Lω
2
Em.
Pour la phase il est intéressant de mettre U sous la forme U = a + jb : U =
1 − jR
Cω −
1
Lω
1 + R 2
Cω −
1
Lω
2 Em.
Nous en déduisons : tan(ϕ) = R
1
Lω
− Cω
avec : cos(ϕ) > 0, donc −
π
2
< ϕ <
π
2
.
Nous aurions aussi pu écrire directement ϕ = − arctan
RCω −
R
Lω
.
4. Nous pouvons écrire les relations suivantes : e(t) = uR(t)+u(t) = Ri(t)+u(t) = RiC (t)+RiL(t)+u(t) ;
iC (t) =
dq
dt
= C
du
dt
et u(t) = L
diL
dt
. En régime sinusoïdal forcé, il vient : e(t) = RC
du
dt
+
R
L
u dt+u(t)
d’où Em cos(ωt) = −RCωUm sin(ωt + ϕ) +
RUm
Lω
sin(ωt + ϕ) + Um cos(ωt + ϕ), soit finalement :
Em cos(ωt) = RCωUm cos(ωt + ϕ +
π
2
) +
RUm
Lω
cos(ωt + ϕ −
π
2
) + Um cos(ωt + ϕ).
En représentation de Fresnel, cette relation se traduit par la somme vectorielle représentée ci-dessous.
Dans le triangle rectangle nous pouvons écrire E
2
m = U
2
m +R
2
Cω −
1
Lω
2
U
2
m (relation de Pythagore),
tan(−ϕ) = − tan(ϕ) =
RCω −
R
Lω
et cos(−ϕ) = cos(ϕ) =
Um
Em
> 0. Nous retrouvons ainsi les
expressions de Um et de ϕ obtenues à la question précédente.
5. À très basse fréquence (ω ω0 = 1/
√
LC) : U (t)
jLω
R
E(t).
Donc : Um
Lω
R
Em 0 et ϕ
π
2
. Le condensateur tendant à se
comporter comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un
court-circuit, il était prévisible que Um tende vers zéro.
À très haute fréquence (ω ω0 = 1/
√
LC) : U (t)
1
jRCω
E(t).
Donc : Um
Em
RCω
0 et ϕ −
π
2
. Le condensateur se comportant
comme un court-circuit en haute fréquence et la bobine comme un
interrupteur ouvert, il était prévisible que Um tende vers zéro.
Em
Um
RUm
Lω
RCωUm
−ϕ
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Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
2. On en déduit graphiquement :
• U
2
m = (RIm)
2 +
LωIm −
I m
Cω
2
soit
U m
Im
=
R 2 +
Lω −
1
Cω
2
;
• tan(ϕ) =
1
R
Lω −
1
Cω
;
avec 0 ≤ ϕ <
π
2
si ω ≥ ω0 =
1
√
LC
et −
π
2
< ϕ < 0 si ω < ω0.
3. Numériquement :
Um
Im
= 1,4 · 10
3 Ω et ϕ = −44°.
#»
U R
Um
#»
U
#»
U C
RIm
Im
Cω
LωIm
#»
U L
ϕ
Exercice 8.5
1. Par définition, les grandeurs complexes s’écrivent : e(t) = Em exp(jωt), u(t) = Um exp(jωt + ϕ) et les
amplitudes complexes : E = Em et U = Um exp(jϕ).
2. Nous reconnaissons un diviseur de tension. En notant Z e l’impédance complexe équivalente à l’association LC parallèle :
U =
Z e
R + Z e
E =
1
1 +
R
Z e
E avec
1
Z e
= jCω +
1
jLω
=⇒ U =
1
1 + jR
Cω −
1
Lω
Em.
3. Nous en déduisons pour l’amplitude : Um =
1
1 + R 2
Cω −
1
Lω
2
Em.
Pour la phase il est intéressant de mettre U sous la forme U = a + jb : U =
1 − jR
Cω −
1
Lω
1 + R 2
Cω −
1
Lω
2 Em.
Nous en déduisons : tan(ϕ) = R
1
Lω
− Cω
avec : cos(ϕ) > 0, donc −
π
2
< ϕ <
π
2
.
Nous aurions aussi pu écrire directement ϕ = − arctan
RCω −
R
Lω
.
4. Nous pouvons écrire les relations suivantes : e(t) = uR(t)+u(t) = Ri(t)+u(t) = RiC (t)+RiL(t)+u(t) ;
iC (t) =
dq
dt
= C
du
dt
et u(t) = L
diL
dt
. En régime sinusoïdal forcé, il vient : e(t) = RC
du
dt
+
R
L
u dt+u(t)
d’où Em cos(ωt) = −RCωUm sin(ωt + ϕ) +
RUm
Lω
sin(ωt + ϕ) + Um cos(ωt + ϕ), soit finalement :
Em cos(ωt) = RCωUm cos(ωt + ϕ +
π
2
) +
RUm
Lω
cos(ωt + ϕ −
π
2
) + Um cos(ωt + ϕ).
En représentation de Fresnel, cette relation se traduit par la somme vectorielle représentée ci-dessous.
Dans le triangle rectangle nous pouvons écrire E
2
m = U
2
m +R
2
Cω −
1
Lω
2
U
2
m (relation de Pythagore),
tan(−ϕ) = − tan(ϕ) =
RCω −
R
Lω
et cos(−ϕ) = cos(ϕ) =
Um
Em
> 0. Nous retrouvons ainsi les
expressions de Um et de ϕ obtenues à la question précédente.
5. À très basse fréquence (ω ω0 = 1/
√
LC) : U (t)
jLω
R
E(t).
Donc : Um
Lω
R
Em 0 et ϕ
π
2
. Le condensateur tendant à se
comporter comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un
court-circuit, il était prévisible que Um tende vers zéro.
À très haute fréquence (ω ω0 = 1/
√
LC) : U (t)
1
jRCω
E(t).
Donc : Um
Em
RCω
0 et ϕ −
π
2
. Le condensateur se comportant
comme un court-circuit en haute fréquence et la bobine comme un
interrupteur ouvert, il était prévisible que Um tende vers zéro.
Em
Um
RUm
Lω
RCωUm
−ϕ
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