Corrections 211
Exercice 8.2
1. Le solide est soumis à son poids m #» g = −mg #» uz, à la réaction normale
#»
N = N #» uz, aux forces de rappel
des ressorts −k1(l1 − l10) #» ux et k2(l2 − l20) #» ux et à la force de frottement
#»
f = −h #» v .
2. La loi de la quantité de mouvement appliquée à M dans le référentiel galiléen R conduit à :
m #» a (M ) =
#»
N + m #» g − k1(l1 − l10) #» ux + k2(l2 − l20) #» ux − h ˙
x #» ux.
À l’équilibre, lorsque la paroi de gauche est immobile en x = 0 : l1 = xeq et l2 = L−xeq = l10 +l20 −xeq.
En projection sur #» ux, on obtient alors : −(k1 + k2)(xeq − l10) = 0. D’où : xeq = l10.
3. L’équation ci-dessus fournit, en projection sur #» ux : m¨ x + h ˙
x + k1(l1 − l10) − k2(l2 − l20) = 0. Lorsque
l’abscisse de la paroi est x0(t), il vient l1(t) = x(t) − x0(t) et l2(t) = L − x(t) = l10 + l20 − x(t). En
introduisant x(t) = X(t) + xeq = X(t) + l10, on obtient finalement : m ¨
X + h ˙
X + (k1 + k2)X = k1x0(t).
4. Par définition des amplitudes complexes : X 0 = X0m, X = Xm exp(jϕ) et V = Vm exp(jφ).
5. En remplaçant X(t) et x0(t) par leurs amplitudes complexes dans l’équation du 3), on obtient :
(jω)
2 mX + jωhX + (k1 + k2)X = k1X0m =⇒ X =
k1X0m
(jω) 2 m + jωh + (k1 + k2)
.
Puis : V = jωX =⇒ V =
k1X0m
jωm + h +
(k1 + k2)
jω
=⇒ V =
k1/h
1 + j
mω
h
−
(k1 + k2)
hω
X0m.
D’où : V =
α
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
X 0 avec ω0 =
k1 + k2
m
, Q =
(k1 + k2)m
h
et α =
k1
h
.
6. Vm(ω) =
α
1 + Q 2
ω
ω0
−
ω0
ω
2
X0m est maximale pour ω = ω0. On observe donc une résonance de
vitesse pour cette pulsation.
Exercice 8.3
1. La résistance et le condensateur sont en parallèle :
1
Z e1
= jCω +
1
R
d’où Z e1 =
R
1 + jRCω
.
2. Pour l’association en série : Z e2 = R +
1
jCω
.
3. L’impédance équivalente au circuit entre les points A et B est :
Z = Z e1 + Z e2 =
R
1 + jRCω
+
1 + jRCω
jCω
= R
1 + 3jRCω − (RCω)
2
jRCω(1 + jRCω)
Exercice 8.4
1. En régime sinusoïdal forcé, les tensions aux bornes de R, C et L s’écrivent respectivement :
uR(t) = Ri(t) = RIm cos(ωt) ; uC (t) =
q
C
=
1
C
i(t) dt =
Im
Cω
sin(ωt) =
Im
Cω
cos(ωt − π/2) et
uL(t) = L
di
dt
= −LωIm sin(ωt) = LωIm cos(ωt + π/2).
#»
U ,
#»
UR,
#»
UC et
#»
UL étant les vecteurs du plan complexe représentant u(t), uR(t), uC (t) et uL(t), la
relation u(t) = uR(t)+uC (t)+uL(t) se traduit par la somme vectorielle
#»
U =
#»
UR +
#»
UC +
#»
UL représentée
ci-dessous.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 8.2
1. Le solide est soumis à son poids m #» g = −mg #» uz, à la réaction normale
#»
N = N #» uz, aux forces de rappel
des ressorts −k1(l1 − l10) #» ux et k2(l2 − l20) #» ux et à la force de frottement
#»
f = −h #» v .
2. La loi de la quantité de mouvement appliquée à M dans le référentiel galiléen R conduit à :
m #» a (M ) =
#»
N + m #» g − k1(l1 − l10) #» ux + k2(l2 − l20) #» ux − h ˙
x #» ux.
À l’équilibre, lorsque la paroi de gauche est immobile en x = 0 : l1 = xeq et l2 = L−xeq = l10 +l20 −xeq.
En projection sur #» ux, on obtient alors : −(k1 + k2)(xeq − l10) = 0. D’où : xeq = l10.
3. L’équation ci-dessus fournit, en projection sur #» ux : m¨ x + h ˙
x + k1(l1 − l10) − k2(l2 − l20) = 0. Lorsque
l’abscisse de la paroi est x0(t), il vient l1(t) = x(t) − x0(t) et l2(t) = L − x(t) = l10 + l20 − x(t). En
introduisant x(t) = X(t) + xeq = X(t) + l10, on obtient finalement : m ¨
X + h ˙
X + (k1 + k2)X = k1x0(t).
4. Par définition des amplitudes complexes : X 0 = X0m, X = Xm exp(jϕ) et V = Vm exp(jφ).
5. En remplaçant X(t) et x0(t) par leurs amplitudes complexes dans l’équation du 3), on obtient :
(jω)
2 mX + jωhX + (k1 + k2)X = k1X0m =⇒ X =
k1X0m
(jω) 2 m + jωh + (k1 + k2)
.
Puis : V = jωX =⇒ V =
k1X0m
jωm + h +
(k1 + k2)
jω
=⇒ V =
k1/h
1 + j
mω
h
−
(k1 + k2)
hω
X0m.
D’où : V =
α
1 + jQ
ω
ω0
−
ω0
ω
X 0 avec ω0 =
k1 + k2
m
, Q =
(k1 + k2)m
h
et α =
k1
h
.
6. Vm(ω) =
α
1 + Q 2
ω
ω0
−
ω0
ω
2
X0m est maximale pour ω = ω0. On observe donc une résonance de
vitesse pour cette pulsation.
Exercice 8.3
1. La résistance et le condensateur sont en parallèle :
1
Z e1
= jCω +
1
R
d’où Z e1 =
R
1 + jRCω
.
2. Pour l’association en série : Z e2 = R +
1
jCω
.
3. L’impédance équivalente au circuit entre les points A et B est :
Z = Z e1 + Z e2 =
R
1 + jRCω
+
1 + jRCω
jCω
= R
1 + 3jRCω − (RCω)
2
jRCω(1 + jRCω)
Exercice 8.4
1. En régime sinusoïdal forcé, les tensions aux bornes de R, C et L s’écrivent respectivement :
uR(t) = Ri(t) = RIm cos(ωt) ; uC (t) =
q
C
=
1
C
i(t) dt =
Im
Cω
sin(ωt) =
Im
Cω
cos(ωt − π/2) et
uL(t) = L
di
dt
= −LωIm sin(ωt) = LωIm cos(ωt + π/2).
#»
U ,
#»
UR,
#»
UC et
#»
UL étant les vecteurs du plan complexe représentant u(t), uR(t), uC (t) et uL(t), la
relation u(t) = uR(t)+uC (t)+uL(t) se traduit par la somme vectorielle
#»
U =
#»
UR +
#»
UC +
#»
UL représentée
ci-dessous.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com