210 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Corrections
Interro de cours
1. [Aω
2
0 ] = [¨ x] = LT
−2 et [ω0] = T
−1 donc [A] = L ; Le facteur de qualité Q est sans dimension ; ω0
désigne la pulsation propre de l’oscillateur et non celle du dispositif excitateur qui est ω. Réponse (b).
2. Seule la réponse (b) est correcte. L’étude du régime sinusoïdal forcé, pour lequel la solution générale de
l’équation homogène est négligeable devant la solution particulière x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) de l’équation
complète, se fait en général à l’aide de la notation complexe. La dépendance temporelle étant connue,
on cherche à déterminer Xm et ϕ en fonction de A, Q, ω0 et ω.
3. Z C =
U
I
=
1
jCω
donc ϕ = arg U − arg I = arg Z C = arg
1
jCω
= −
π
2
et |Z C | =
|U |
|I|
=
Um
Im
=
1
Cω
.
Réponses (c) et (d).
4. La loi des mailles donne E = U 1 + U 2 . On en déduit |E| = |U 1 + U 2 | < |U 1 | + |U 2 |. Réponse (b).
5. La réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale de fréquence f est, en régime forcé, une
réponse sinusoïdale de fréquence f . Réponse (b).
6. En faisant varier la fréquence f , on observe dans le circuit RLC série une résonance d’intensité et
donc de tension uR = Ri. L’amplitude de uR passe par un maximum pour la fréquence de résonance
fr = f0 =
1
2π
√
LC
quel que soit Q et donc R. À cette fréquence uR et e sont en phase.
L’impédance complexe du circuit dépend de sa structure. Il en est de même de l’amplitude complexe
de l’intensité du courant dans la résistance. Lorsqu’une résonance d’intensité est observée, ses caractéristiques dépendent donc de la structure du circuit. Réponse (b).
Exercice 8.1
1. Un multimètre utilisé en voltmètre permet de mesurer les tensions efficaces aux bornes du générateur
et du résistor R2 via un interrupteur deux voies, ce pour différentes fréquences. Il suffit alors, pour
chaque valeur de la fréquence, de calculer le rapport des tensions efficaces.
2. Les tensions aux bornes du générateur et de R2 sont observées sur les deux voies d’un oscilloscope.
Le déphasage peut se lire en mode bi-courbes (on détermine alors le signe du déphasage en observant
quelle tension est en avance sur l’autre, et on obtient sa valeur absolue en mesurant le décalage temporel
δt entre les deux signaux, par |ϕ| = 2πδt/T ) ou en mode XY (méthode de Lissajou). Il est bon de
privilégier cette dernière méthode pour les faibles déphasages.
3. La courbe H(f ) admet un maximum. Cela signifie que si nous faisons varier f en maintenant Em
constant, nous observons un maximum de Um donc une résonance en tension.
4. Nous obtenons par lecture Hmax = 0,57 pour une fréquence de résonance fr = 8,0 · 10
2 Hz. Le facteur
de qualité s’obtient en déterminant la bande passante Δf définie comme l’intervalle de fréquence pour
lequel H ≥ Hmax/
√
2. Nous obtenons par lecture H = Hmax/
√
2 = 0,40 correspondant aux fréquences
f b = 2,0 · 10
2 Hz et f h = 3,1 · 10
3 Hz. Nous en déduisons : Q =
fr
f h − f b
= 0,28. La résonance n’est pas
aiguë.
5. À la résonance, pour fr = 8,0 · 10
2 Hz, nous constatons que ϕ = 0. La résonance étant assez floue,
l’utilisation de l’oscilloscope en mode XY permet une détermination plus précise de la fréquence de
résonance, en recherchant la fréquence pour laquelle on observe un segment de droite à l’écran.
partagelivrescpge.blogspot.com
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Corrections
Interro de cours
1. [Aω
2
0 ] = [¨ x] = LT
−2 et [ω0] = T
−1 donc [A] = L ; Le facteur de qualité Q est sans dimension ; ω0
désigne la pulsation propre de l’oscillateur et non celle du dispositif excitateur qui est ω. Réponse (b).
2. Seule la réponse (b) est correcte. L’étude du régime sinusoïdal forcé, pour lequel la solution générale de
l’équation homogène est négligeable devant la solution particulière x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) de l’équation
complète, se fait en général à l’aide de la notation complexe. La dépendance temporelle étant connue,
on cherche à déterminer Xm et ϕ en fonction de A, Q, ω0 et ω.
3. Z C =
U
I
=
1
jCω
donc ϕ = arg U − arg I = arg Z C = arg
1
jCω
= −
π
2
et |Z C | =
|U |
|I|
=
Um
Im
=
1
Cω
.
Réponses (c) et (d).
4. La loi des mailles donne E = U 1 + U 2 . On en déduit |E| = |U 1 + U 2 | < |U 1 | + |U 2 |. Réponse (b).
5. La réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale de fréquence f est, en régime forcé, une
réponse sinusoïdale de fréquence f . Réponse (b).
6. En faisant varier la fréquence f , on observe dans le circuit RLC série une résonance d’intensité et
donc de tension uR = Ri. L’amplitude de uR passe par un maximum pour la fréquence de résonance
fr = f0 =
1
2π
√
LC
quel que soit Q et donc R. À cette fréquence uR et e sont en phase.
L’impédance complexe du circuit dépend de sa structure. Il en est de même de l’amplitude complexe
de l’intensité du courant dans la résistance. Lorsqu’une résonance d’intensité est observée, ses caractéristiques dépendent donc de la structure du circuit. Réponse (b).
Exercice 8.1
1. Un multimètre utilisé en voltmètre permet de mesurer les tensions efficaces aux bornes du générateur
et du résistor R2 via un interrupteur deux voies, ce pour différentes fréquences. Il suffit alors, pour
chaque valeur de la fréquence, de calculer le rapport des tensions efficaces.
2. Les tensions aux bornes du générateur et de R2 sont observées sur les deux voies d’un oscilloscope.
Le déphasage peut se lire en mode bi-courbes (on détermine alors le signe du déphasage en observant
quelle tension est en avance sur l’autre, et on obtient sa valeur absolue en mesurant le décalage temporel
δt entre les deux signaux, par |ϕ| = 2πδt/T ) ou en mode XY (méthode de Lissajou). Il est bon de
privilégier cette dernière méthode pour les faibles déphasages.
3. La courbe H(f ) admet un maximum. Cela signifie que si nous faisons varier f en maintenant Em
constant, nous observons un maximum de Um donc une résonance en tension.
4. Nous obtenons par lecture Hmax = 0,57 pour une fréquence de résonance fr = 8,0 · 10
2 Hz. Le facteur
de qualité s’obtient en déterminant la bande passante Δf définie comme l’intervalle de fréquence pour
lequel H ≥ Hmax/
√
2. Nous obtenons par lecture H = Hmax/
√
2 = 0,40 correspondant aux fréquences
f b = 2,0 · 10
2 Hz et f h = 3,1 · 10
3 Hz. Nous en déduisons : Q =
fr
f h − f b
= 0,28. La résonance n’est pas
aiguë.
5. À la résonance, pour fr = 8,0 · 10
2 Hz, nous constatons que ϕ = 0. La résonance étant assez floue,
l’utilisation de l’oscilloscope en mode XY permet une détermination plus précise de la fréquence de
résonance, en recherchant la fréquence pour laquelle on observe un segment de droite à l’écran.
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