Exercices 207
1. En utilisant les lois d’association des impédances et la notion de diviseur de tension, montrer
qu’on peut écrire : U =
1
1 + j
RCω −
R
Lω
E
2. En déduire les expressions de H et de ϕ, en fonction de R, L, C et ω.
3. Existe-t-il un phénomène de résonance de tension ? On tracera l’évolution de H et ϕ avec ω.
4. Si oui, déterminer l’expression de la fréquence de résonance f 0 et du facteur de qualité Q
en fonction de R, L et C. Faire l’application numérique avec R = 1,0 · 10
3 Ω, L = 0,10 H et
C = 0,10 μF.
5. Peut-on considérer que cette résonance est aiguë ?
Exercice 8.8 Étude de la surtension aux bornes d’une bobine idéale
On considère le circuit ci-contre, avec e(t) = E m cos(ωt).
On pose u(t) = U m cos(ωt + ϕ) et H =
U m
E m
.
On introduit les amplitudes complexes E et U des tensions
e(t) et u(t).
1. Établir la relation entre U et E.
2. On pose : ω 0 =
1
√
LC
, Q =
Lω 0
R
et X =
ω
ω 0
. Donner la
valeur de ϕ pour X = 0, X = 1, X → ∞ et esquisser
l’allure de la courbe représentant ϕ(X).
3. Établir l’expression de U m en fonction de X, E m et Q.
Que vaut U m pour X = 0, X = 1 et X → ∞ ?
4. Montrer que U m (X) admet un maximum ailleurs qu’en
X = 0 si et seulement si Q est supérieur à
1
√
2
. Quelle
est l’expression X m de X pour ce maximum ? Situer
X m par rapport à X = 1. Vers quelle valeur tend X m
lorsque Q devient très grand devant 1 ?
5. La figure ci-contre donne les courbes représentant les
variations de H et ϕ en fonction de la fréquence f . En
utilisant l’étude précédente, déduire de ces deux courbes
les valeurs de f 0 , ω 0 et Q.
e(t)
R
C
L
u(t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
H
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f (kHz)
0
50
100
150
ϕ (
◦
)
Exercice 8.9 Bilan de puissance dans un circuit RLC série
On considère le circuit suivant dans lequel e(t) = E m cos(ωt).
1. On introduit la charge q(t) du condensateur C telle
que i(t) =
dq
dt
. Écrire l’équation traduisant la loi des
mailles dans le circuit et faisant intervenir e(t), i(t)
et q(t).
e(t)
R i(t)
L
C
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
1. En utilisant les lois d’association des impédances et la notion de diviseur de tension, montrer
qu’on peut écrire : U =
1
1 + j
RCω −
R
Lω
E
2. En déduire les expressions de H et de ϕ, en fonction de R, L, C et ω.
3. Existe-t-il un phénomène de résonance de tension ? On tracera l’évolution de H et ϕ avec ω.
4. Si oui, déterminer l’expression de la fréquence de résonance f 0 et du facteur de qualité Q
en fonction de R, L et C. Faire l’application numérique avec R = 1,0 · 10
3 Ω, L = 0,10 H et
C = 0,10 μF.
5. Peut-on considérer que cette résonance est aiguë ?
Exercice 8.8 Étude de la surtension aux bornes d’une bobine idéale
On considère le circuit ci-contre, avec e(t) = E m cos(ωt).
On pose u(t) = U m cos(ωt + ϕ) et H =
U m
E m
.
On introduit les amplitudes complexes E et U des tensions
e(t) et u(t).
1. Établir la relation entre U et E.
2. On pose : ω 0 =
1
√
LC
, Q =
Lω 0
R
et X =
ω
ω 0
. Donner la
valeur de ϕ pour X = 0, X = 1, X → ∞ et esquisser
l’allure de la courbe représentant ϕ(X).
3. Établir l’expression de U m en fonction de X, E m et Q.
Que vaut U m pour X = 0, X = 1 et X → ∞ ?
4. Montrer que U m (X) admet un maximum ailleurs qu’en
X = 0 si et seulement si Q est supérieur à
1
√
2
. Quelle
est l’expression X m de X pour ce maximum ? Situer
X m par rapport à X = 1. Vers quelle valeur tend X m
lorsque Q devient très grand devant 1 ?
5. La figure ci-contre donne les courbes représentant les
variations de H et ϕ en fonction de la fréquence f . En
utilisant l’étude précédente, déduire de ces deux courbes
les valeurs de f 0 , ω 0 et Q.
e(t)
R
C
L
u(t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
H
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f (kHz)
0
50
100
150
ϕ (
◦
)
Exercice 8.9 Bilan de puissance dans un circuit RLC série
On considère le circuit suivant dans lequel e(t) = E m cos(ωt).
1. On introduit la charge q(t) du condensateur C telle
que i(t) =
dq
dt
. Écrire l’équation traduisant la loi des
mailles dans le circuit et faisant intervenir e(t), i(t)
et q(t).
e(t)
R i(t)
L
C
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