208 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
2. Établir la relation : e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
d
dt
1
2
Li(t)
2 +
1
2
q(t)
2
C
puis l’interpréter physiquement
sous la forme d’un bilan de puissance.
3. En régime sinusoïdal forcé, montrer que l’énergie fournie par le générateur sur une période est
entièrement consommée par effet Joule dans la résistance.
4. Montrer dans ce cas que l’énergie dissipée par effet Joule sur une période est maximale pour
la pulsation ω = ω 0 =
1
LC
, c’est à dire à la résonance d’intensité. On pourra au préalable
exprimer l’intensité i(t) en notation complexe, puis la mettre sous la forme i(t) = I m cos(ωt+ϕ),
où on exprimera uniquement l’amplitude I m en fonction des données.
Exercice 8.10 Conduite islandaise
En Islande beaucoup de routes sont de fait des pistes présentant souvent des ondulations assez
marquées. Les touristes peuvent être surpris par la conduite des Islandais qui roulent toujours à
vive allure sur ces pistes bosselées, alors qu’eux mêmes, roulant beaucoup plus lentement, sont très
secoués. Quand ils prennent exemple sur les conducteurs locaux, ils s’aperçoivent que leur confort
est nettement amélioré. Nous allons tenter d’expliquer ce phénomène.
Dans le cadre d’une modélisation simple, on peut considérer
que le système de suspension d’une roue, de rayon R, est
constitué de la mise en parallèle d’un ressort, de raideur k
et de longueur à vide l 0 , et d’un amortisseur de coefficient
d’amortissement h. La masse de la voiture étant M , on
considère que le système de suspension d’une roue supporte
une masse m = M/4.
Le véhicule, animé d’un mouvement horizontal rectiligne
uniforme de vitesse #» v = v #» u x , roule sur une route dont le
profil impose au centre C de la roue considérée une cote
z C (t) = R + E m cos
2π
x(t)
λ
, x(t) étant l’abscisse de C.
On repère le mouvement vertical de m par sa cote z(t)
comptée à partir de sa position d’équilibre quand le véhicule
est au repos et que z C = R.
z
z eq z(t)
O
• C
x
h
k,l 0
λ
m
#» v
On admet que la force exercée par l’amortisseur sur m est donnée par
#»
F f = −h( ˙
z − ˙
z C ) #» u z .
On prendra M = 1,0 · 10
3 kg, k = 3,0 · 10
4 N · m
−1 et h = 2,0 · 10
3 kg · s
−1 .
1. Après avoir fait un bilan des actions mécaniques s’exerçant sur la masse m, déterminer dans le
référentiel terrestre R supposé galiléen l’équation du mouvement vertical de la masse m.
2. Donner l’expression de x(t) en supposant qu’à l’instant initial C se trouve à la verticale de O.
3. Montrer que l’amplitude Z m des oscillations verticales du véhicule est donnée par la relation :
Z m =
1 +
ω
Qω 0
2
1 −
ω
2
ω 2
0
2
+
ω
Qω 0
2
E m , avec ω 0 et Q à relier à h, m et k, et ω à λ et v.
4. Tracer l’évolution de Z m avec le rapport X = ω/ω 0 .
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Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
2. Établir la relation : e(t)i(t) = Ri
2 (t) +
d
dt
1
2
Li(t)
2 +
1
2
q(t)
2
C
puis l’interpréter physiquement
sous la forme d’un bilan de puissance.
3. En régime sinusoïdal forcé, montrer que l’énergie fournie par le générateur sur une période est
entièrement consommée par effet Joule dans la résistance.
4. Montrer dans ce cas que l’énergie dissipée par effet Joule sur une période est maximale pour
la pulsation ω = ω 0 =
1
LC
, c’est à dire à la résonance d’intensité. On pourra au préalable
exprimer l’intensité i(t) en notation complexe, puis la mettre sous la forme i(t) = I m cos(ωt+ϕ),
où on exprimera uniquement l’amplitude I m en fonction des données.
Exercice 8.10 Conduite islandaise
En Islande beaucoup de routes sont de fait des pistes présentant souvent des ondulations assez
marquées. Les touristes peuvent être surpris par la conduite des Islandais qui roulent toujours à
vive allure sur ces pistes bosselées, alors qu’eux mêmes, roulant beaucoup plus lentement, sont très
secoués. Quand ils prennent exemple sur les conducteurs locaux, ils s’aperçoivent que leur confort
est nettement amélioré. Nous allons tenter d’expliquer ce phénomène.
Dans le cadre d’une modélisation simple, on peut considérer
que le système de suspension d’une roue, de rayon R, est
constitué de la mise en parallèle d’un ressort, de raideur k
et de longueur à vide l 0 , et d’un amortisseur de coefficient
d’amortissement h. La masse de la voiture étant M , on
considère que le système de suspension d’une roue supporte
une masse m = M/4.
Le véhicule, animé d’un mouvement horizontal rectiligne
uniforme de vitesse #» v = v #» u x , roule sur une route dont le
profil impose au centre C de la roue considérée une cote
z C (t) = R + E m cos
2π
x(t)
λ
, x(t) étant l’abscisse de C.
On repère le mouvement vertical de m par sa cote z(t)
comptée à partir de sa position d’équilibre quand le véhicule
est au repos et que z C = R.
z
z eq z(t)
O
• C
x
h
k,l 0
λ
m
#» v
On admet que la force exercée par l’amortisseur sur m est donnée par
#»
F f = −h( ˙
z − ˙
z C ) #» u z .
On prendra M = 1,0 · 10
3 kg, k = 3,0 · 10
4 N · m
−1 et h = 2,0 · 10
3 kg · s
−1 .
1. Après avoir fait un bilan des actions mécaniques s’exerçant sur la masse m, déterminer dans le
référentiel terrestre R supposé galiléen l’équation du mouvement vertical de la masse m.
2. Donner l’expression de x(t) en supposant qu’à l’instant initial C se trouve à la verticale de O.
3. Montrer que l’amplitude Z m des oscillations verticales du véhicule est donnée par la relation :
Z m =
1 +
ω
Qω 0
2
1 −
ω
2
ω 2
0
2
+
ω
Qω 0
2
E m , avec ω 0 et Q à relier à h, m et k, et ω à λ et v.
4. Tracer l’évolution de Z m avec le rapport X = ω/ω 0 .
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