L’essentiel du cours 201
un fluide de masse volumique ρ. En reprenant les paramètres de cet oscillateur et en complétant
l’équation du mouvement fournie par la loi de la quantité de mouvement, pour tenir compte de la
force
#»
F exc = f r cos(ωt) #» u z , nous obtenons :
(8.6)
¨
z +
ω 0
Q
˙
z + ω
2
0 z =
f r
m
cos(ωt)
En régime sinusoïdal forcé la solution est de la forme : z(t) = Z m cos(ωt + ϕ). En appliquant la
méthode 8.2, nous obtenons :
(8.7)
Z =
f r
m
1
ω 2
0 − ω 2 + j
ωω 0
Q
=
f r
mω 2
0
1
1 −
ω
ω 0
2
+ j
ω
Qω 0
D’où nous déduisons : Z m =
f r
mω 2
0
1
1 −
ω
2
ω 2
0
2
+
ω
2
Q 2 ω 2
0
et ϕ = − arg
1 −
ω
2
ω 2
0
+ j
ω
Qω 0
Observe-t-on un phénomène de résonance pour ce système mécanique ?
La simulation est réalisée à partir des expressions précédentes de Z m et ϕ. Les courbes d’élongation
et de phase en fonction de la fréquence f =
ω
2π
sont présentées sur la figure 8.4. Nous observons une
résonance d’élongation dans l’eau mais pas dans la glycérine. On peut montrer par le calcul, en
faisant une étude de la fonction Z m (ω), qu’une résonance est observée si Q est supérieur à 1/
√
2.
Ce comportement peut-il être observé pour une grandeur électrique du circuit
RLC série ?
D’après le tableau des analogies entre grandeurs électriques et mécaniques dressé à la fin du chapitre
7, l’élongation z a un comportement analogue à la charge q du condensateur donc à la tension
u C = q/C aux bornes de celui-ci. En utilisant la méthode 8.3, la notion de pont diviseur de tension
et en introduisant ω 0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
, nous obtenons :
(8.8) U C =
Z C E
Z C + Z R + Z L
=
E
1 +
Z R
Z C
+
Z L
Z C
=
E m
1 + jRCω + (jω) 2 LC
=
E m
1 −
ω
ω 0
2
+ j
ω
Qω 0
L’équation 8.8 étant formellement analogue à l’équation 8.7, le comportement de la tension u C (t)
aux bornes du condensateur du circuit RLC série est comparable à celui de l’élongation z(t) du
dispositif mécanique. Ceci est illustré par la figure 8.4.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
un fluide de masse volumique ρ. En reprenant les paramètres de cet oscillateur et en complétant
l’équation du mouvement fournie par la loi de la quantité de mouvement, pour tenir compte de la
force
#»
F exc = f r cos(ωt) #» u z , nous obtenons :
(8.6)
¨
z +
ω 0
Q
˙
z + ω
2
0 z =
f r
m
cos(ωt)
En régime sinusoïdal forcé la solution est de la forme : z(t) = Z m cos(ωt + ϕ). En appliquant la
méthode 8.2, nous obtenons :
(8.7)
Z =
f r
m
1
ω 2
0 − ω 2 + j
ωω 0
Q
=
f r
mω 2
0
1
1 −
ω
ω 0
2
+ j
ω
Qω 0
D’où nous déduisons : Z m =
f r
mω 2
0
1
1 −
ω
2
ω 2
0
2
+
ω
2
Q 2 ω 2
0
et ϕ = − arg
1 −
ω
2
ω 2
0
+ j
ω
Qω 0
Observe-t-on un phénomène de résonance pour ce système mécanique ?
La simulation est réalisée à partir des expressions précédentes de Z m et ϕ. Les courbes d’élongation
et de phase en fonction de la fréquence f =
ω
2π
sont présentées sur la figure 8.4. Nous observons une
résonance d’élongation dans l’eau mais pas dans la glycérine. On peut montrer par le calcul, en
faisant une étude de la fonction Z m (ω), qu’une résonance est observée si Q est supérieur à 1/
√
2.
Ce comportement peut-il être observé pour une grandeur électrique du circuit
RLC série ?
D’après le tableau des analogies entre grandeurs électriques et mécaniques dressé à la fin du chapitre
7, l’élongation z a un comportement analogue à la charge q du condensateur donc à la tension
u C = q/C aux bornes de celui-ci. En utilisant la méthode 8.3, la notion de pont diviseur de tension
et en introduisant ω 0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
, nous obtenons :
(8.8) U C =
Z C E
Z C + Z R + Z L
=
E
1 +
Z R
Z C
+
Z L
Z C
=
E m
1 + jRCω + (jω) 2 LC
=
E m
1 −
ω
ω 0
2
+ j
ω
Qω 0
L’équation 8.8 étant formellement analogue à l’équation 8.7, le comportement de la tension u C (t)
aux bornes du condensateur du circuit RLC série est comparable à celui de l’élongation z(t) du
dispositif mécanique. Ceci est illustré par la figure 8.4.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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