198 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Sachant que exp(jπ/2) = j, nous obtenons après factorisation de I :
(8.5)
I =
jE m ω
L
1
ω 2
0 − ω 2 + j
ωω 0
Q
=
E m Q
Lω 0
1
1 + jQ
ω
ω 0
−
ω 0
ω
=
E m
R
1
1 + jQ
ω
ω 0
−
ω 0
ω
D’où nous déduisons I m et φ en prenant le module et l’argument I :
I m = |I| =
E m /R
1 + Q 2
ω
ω 0
−
ω 0
ω
2
et φ = arg(I) = − arctan
Q
ω
ω 0
−
ω 0
ω
Cela confirme nos observations expérimentales : la résonance d’intensité est bien observée pour
ω = ω 0 (I m est maximale pour ω = ω 0 et vaut E m /R), c’est-à-dire pour f = f 0 et, à cette
fréquence, φ = 0.
Dans l’étude du régime sinusoïdal forcé d’une grandeur g(t), on peut déterminer son amplitude
complexe G en partant de l’équation différentielle linéaire qu’elle doit satisfaire :
• Dans cette équation différentielle, remplacer les grandeurs sinusoïdales et leurs dérivées
par leurs amplitudes complexes, notamment g(t), ˙
g(t) et ¨
g(t) respectivement par G,
jωG et (jω)
2 G = −ω
2 G.
• Déduire G de l’équation algébrique ainsi obtenue dans le corps des complexes.
Méthode 8.2 : Amplitude complexe et équation différentielle linéaire
Exercice (8.2)
Comment utiliser la notion d’impédance complexe ?
On considère, en convention récepteur, un dipôle passif soumis à une tension sinusoïdale
u(t) = U m cos(ωt) et parcouru par un courant i(t) = I m cos(ωt + φ). Son impédance complexe
Z est définie par Z =
u
i
=
U
I
et son module s’exprime en ohm.
Définition : Impédance complexe
Les lois des mailles et des nœuds s’appliquent avec les amplitudes complexes et les impédances
complexes.
• Loi des mailles
Z 1
i
Z 2
Z 3
e
u 1
u 3
u 2
Grandeurs complexes :
e = u 1 + u 2 + u 3
Amplitudes complexes :
E = U 1 + U 2 + U 3
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