L’essentiel du cours 197
nombre complexe de carré −1. La grandeur sinusoïdale g(t) et sa grandeur complexe conjuguée
g(t) sont liées par la relation g(t) = Re(g(t)).
On définit l’amplitude complexe G de la grandeur sinusoïdale g(t) = G m cos(ωt + φ) de
pulsation ω par G = G m exp(jφ).
Une fois déterminée, elle permet de remonter à cette grandeur elle-même. En effet :
• l’amplitude G m de g(t) est égale au module de G : G m = |G| ;
• la phase à l’origine φ de g(t) est égale à l’argument de G : φ = arg(G).
Définition : Amplitude complexe d’une grandeur sinusoïdale
Dans l’ensemble E des fonctions sinusoïdales de pulsation ω, la notation complexe est compatible
avec les opérations de combinaisons linéaires, de dérivation et d’intégration. On montre que :
• Si g 1 (t) et g 2 (t) sont éléments de E et (λ 1 ,λ 2 ) deux réels, alors g(t) = λ 1 g 1 (t) + λ 2 g 2 (t) ∈ E
et son amplitude complexe vaut G = λ 1 G 1 + λ 2 G 2 .
• Si g(t) ∈ E alors
dg
dt
et
gdt sont des éléments de E dont les amplitudes complexes valent
respectivement jωG et
G
jω
.
Quel est l’intérêt de la notation complexe pour étudier un régime sinusoïdal forcé ?
Un système linéaire est régi par une équation différentielle linéaire donc par une équation dans laquelle toutes les opérations sont compatibles avec la notation complexe. C’est pourquoi l’étude d’un
système linéaire en régime sinusoïdal forcé peut se faire en utilisant la notation complexe.
Nous allons voir, sur l’exemple développé dans la partie « Modélisation et approche expérimentale »
,que la notation complexe permet de substituer à l’équation différentielle linéaire une équation
algébrique entre les amplitudes complexes.
Nous pouvons soit partir de l’équation différentielle, soit utiliser la notion d’impédance complexe.
Comment utiliser la notation complexe en partant de l’équation différentielle ?
Reprenons l’équation différentielle 8.2 satisfaite par i(t) :
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Nous en déduisons l’équation satisfaite par i(t), dont la partie réelle s’identifie à l’équation 8.2 :
(8.3)
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
exp
j
ωt +
π
2
Puis en remplaçant i(t) par i(t) = I exp(jωt) et après simplification par exp(jωt) :
(8.4)
(jω)
2 I +
jωω 0
Q
I + ω
2
0 I =
E m ω
L
exp(jπ/2)
L’équation 8.4 peut se déduire directement de l’équation différentielle 8.2 en remplaçant
les grandeurs sinusoïdales par leurs amplitudes complexes.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
nombre complexe de carré −1. La grandeur sinusoïdale g(t) et sa grandeur complexe conjuguée
g(t) sont liées par la relation g(t) = Re(g(t)).
On définit l’amplitude complexe G de la grandeur sinusoïdale g(t) = G m cos(ωt + φ) de
pulsation ω par G = G m exp(jφ).
Une fois déterminée, elle permet de remonter à cette grandeur elle-même. En effet :
• l’amplitude G m de g(t) est égale au module de G : G m = |G| ;
• la phase à l’origine φ de g(t) est égale à l’argument de G : φ = arg(G).
Définition : Amplitude complexe d’une grandeur sinusoïdale
Dans l’ensemble E des fonctions sinusoïdales de pulsation ω, la notation complexe est compatible
avec les opérations de combinaisons linéaires, de dérivation et d’intégration. On montre que :
• Si g 1 (t) et g 2 (t) sont éléments de E et (λ 1 ,λ 2 ) deux réels, alors g(t) = λ 1 g 1 (t) + λ 2 g 2 (t) ∈ E
et son amplitude complexe vaut G = λ 1 G 1 + λ 2 G 2 .
• Si g(t) ∈ E alors
dg
dt
et
gdt sont des éléments de E dont les amplitudes complexes valent
respectivement jωG et
G
jω
.
Quel est l’intérêt de la notation complexe pour étudier un régime sinusoïdal forcé ?
Un système linéaire est régi par une équation différentielle linéaire donc par une équation dans laquelle toutes les opérations sont compatibles avec la notation complexe. C’est pourquoi l’étude d’un
système linéaire en régime sinusoïdal forcé peut se faire en utilisant la notation complexe.
Nous allons voir, sur l’exemple développé dans la partie « Modélisation et approche expérimentale »
,que la notation complexe permet de substituer à l’équation différentielle linéaire une équation
algébrique entre les amplitudes complexes.
Nous pouvons soit partir de l’équation différentielle, soit utiliser la notion d’impédance complexe.
Comment utiliser la notation complexe en partant de l’équation différentielle ?
Reprenons l’équation différentielle 8.2 satisfaite par i(t) :
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Nous en déduisons l’équation satisfaite par i(t), dont la partie réelle s’identifie à l’équation 8.2 :
(8.3)
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
exp
j
ωt +
π
2
Puis en remplaçant i(t) par i(t) = I exp(jωt) et après simplification par exp(jωt) :
(8.4)
(jω)
2 I +
jωω 0
Q
I + ω
2
0 I =
E m ω
L
exp(jπ/2)
L’équation 8.4 peut se déduire directement de l’équation différentielle 8.2 en remplaçant
les grandeurs sinusoïdales par leurs amplitudes complexes.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com