196 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Ces résultats ne sont pas généralisables. L’existence d’un phénomène de résonance, la
valeur de la fréquence de résonance, le déphasage à la résonance entre la grandeur
étudiée et la grandeur excitatrice peuvent dépendre du facteur de qualité du système.
Nous pouvons aussi calculer l’acuité d’une résonance. Par exemple, pour la courbe correspondant
à R = 50,4 Ω, les relevés expérimentaux fournissent : I m (f r ) = 51 mA, I m = I m (f r )/
√
2 = 36 mA
pour f b = 1195 Hz et f h = 1895 Hz. D’où une acuité de résonance égale à
f r
f h − f b
= 2,1.
Selon les applications, on peut souhaiter avoir un phénomène de résonance (oscillateurs. . .) ou au contraire l’éviter.
Le graphe d’amplitude permet de :
• Mettre en évidence la présence ou l’absence d’un phénomène de résonance.
• Déterminer la fréquence de résonance f r correspondant au maximum de l’amplitude.
• Déterminer la plage de fréquence Δf et donc l’acuité de la résonance.
Le graphe de phase permet de déterminer la fréquence propre f 0 de l’oscillateur (voir tableau
récapitulatif en fin de cours).
Méthode 8.1 : Exploitation des graphes expérimentaux d’amplitude et de phase
Exercice (8.1)
Retour au contexte de la plaque à induction
La fréquence d’alimentation de la bobine permet de piloter l’intensité du courant dans celle-ci et
donc le champ magnétique qu’elle crée. En la modifiant, on modifie les courants induits dans la
casserole et donc la puissance dissipée par effet Joule dans celle-ci. Plus la fréquence est proche de
la fréquence de résonance, plus la puissance transmise à la casserole est grande.
Il nous reste à déterminer les expressions de I m et de φ en fonction de ω. Pour cela nous pouvons
utiliser :
• La construction de Fresnel.
Cette méthode a été introduite au chapitre 2. Elle consiste à associer au signal sinusoïdal
s(t) = S m cos(ωt + ϕ) de pulsation ω, le vecteur
#»
S du plan complexe de norme S m faisant
avec l’axe des réels (Ox) l’angle ϕ.
La somme de deux signaux s 1 (t) = S 1m cos(ωt + ϕ 1 ) et s 2 (t) = S 2m cos(ωt + ϕ 2 ), de
pulsation ω et représentés dans le plan complexe par les vecteurs
#»
S 1 et
#»
S 2 , est un signal
de pulsation ω, s(t) = S m cos(ωt + ϕ), représenté dans le plan complexe par le vecteur
#»
S =
#»
S 1 +
#»
S 2 .
Cette méthode est illustrée par l’exercice 8.4.
• La méthode complexe, que nous allons présenter.
2 Outils de résolution : la méthode complexe
À la grandeur sinusoïdale g(t) = G m cos(ωt + φ) nous associons la grandeur complexe définie par
g(t) = G m exp(jωt + φ) = G m exp(jφ) exp(jωt) = G m cos(ωt + φ) + jG m sin(ωt + φ) où j est le
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Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Ces résultats ne sont pas généralisables. L’existence d’un phénomène de résonance, la
valeur de la fréquence de résonance, le déphasage à la résonance entre la grandeur
étudiée et la grandeur excitatrice peuvent dépendre du facteur de qualité du système.
Nous pouvons aussi calculer l’acuité d’une résonance. Par exemple, pour la courbe correspondant
à R = 50,4 Ω, les relevés expérimentaux fournissent : I m (f r ) = 51 mA, I m = I m (f r )/
√
2 = 36 mA
pour f b = 1195 Hz et f h = 1895 Hz. D’où une acuité de résonance égale à
f r
f h − f b
= 2,1.
Selon les applications, on peut souhaiter avoir un phénomène de résonance (oscillateurs. . .) ou au contraire l’éviter.
Le graphe d’amplitude permet de :
• Mettre en évidence la présence ou l’absence d’un phénomène de résonance.
• Déterminer la fréquence de résonance f r correspondant au maximum de l’amplitude.
• Déterminer la plage de fréquence Δf et donc l’acuité de la résonance.
Le graphe de phase permet de déterminer la fréquence propre f 0 de l’oscillateur (voir tableau
récapitulatif en fin de cours).
Méthode 8.1 : Exploitation des graphes expérimentaux d’amplitude et de phase
Exercice (8.1)
Retour au contexte de la plaque à induction
La fréquence d’alimentation de la bobine permet de piloter l’intensité du courant dans celle-ci et
donc le champ magnétique qu’elle crée. En la modifiant, on modifie les courants induits dans la
casserole et donc la puissance dissipée par effet Joule dans celle-ci. Plus la fréquence est proche de
la fréquence de résonance, plus la puissance transmise à la casserole est grande.
Il nous reste à déterminer les expressions de I m et de φ en fonction de ω. Pour cela nous pouvons
utiliser :
• La construction de Fresnel.
Cette méthode a été introduite au chapitre 2. Elle consiste à associer au signal sinusoïdal
s(t) = S m cos(ωt + ϕ) de pulsation ω, le vecteur
#»
S du plan complexe de norme S m faisant
avec l’axe des réels (Ox) l’angle ϕ.
La somme de deux signaux s 1 (t) = S 1m cos(ωt + ϕ 1 ) et s 2 (t) = S 2m cos(ωt + ϕ 2 ), de
pulsation ω et représentés dans le plan complexe par les vecteurs
#»
S 1 et
#»
S 2 , est un signal
de pulsation ω, s(t) = S m cos(ωt + ϕ), représenté dans le plan complexe par le vecteur
#»
S =
#»
S 1 +
#»
S 2 .
Cette méthode est illustrée par l’exercice 8.4.
• La méthode complexe, que nous allons présenter.
2 Outils de résolution : la méthode complexe
À la grandeur sinusoïdale g(t) = G m cos(ωt + φ) nous associons la grandeur complexe définie par
g(t) = G m exp(jωt + φ) = G m exp(jφ) exp(jωt) = G m cos(ωt + φ) + jG m sin(ωt + φ) où j est le
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