18 Chapitre 1
Oscillateur harmonique
Exercice 1.3 En apesanteur
Il est important pour les astronautes de suivre l’évolution de leur masse corporelle au cours d’une
mission spatiale. Or l’apesanteur rend inopérants les dispositifs habituels de mesure de la masse.
Les astronautes utilisent alors une balance inertielle : il s’agit d’une sorte de chaise reliée à un point
fixe du vaisseau par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k. L’ensemble oscille à une fréquence
dépendant de la masse posée sur la chaise. La fréquence d’oscillations mesurée est f 0 = 0,710 Hz
lorsque la chaise est vide. La masse de cette dernière est m 0 = 30 kg.
1. Un astronaute de masse m prend place sur le dispositif. La période des oscillations est alors
T = 2,56 s. Déterminer m.
2. Que vaut la raideur k du ressort ?
Exercice 1.4 Un ressort à tout casser
Le jeune Nicolas s’amuse à viser ses soldats en plomb avec des billes en utilisant un ressort en guise
de lanceur. Il place la bille contre le ressort, comprime celui-ci, puis lâche la bille.
x
x(t)
(k, l 0 )
M
O
Nous négligeons tout frottement avec le sol de sorte que
la bille peut être assimilée à un point M d’abscisse x(t)
en translation selon l’axe Ox. La longueur du ressort à
l’instant t est ainsi x(t).
Le ressort possède une longueur à vide l 0 = 6,0 cm et une
raideur k = 80 N · m
−1 . La masse des billes est m = 1,3 g.
1. Par des considérations énergétiques, déterminer la vitesse maximale atteinte par la bille si
Nicolas comprime initialement son ressort de a = 4,0 cm.
2. Nous souhaitons retrouver ce résultat par une autre méthode.
L’équation différentielle vérifiée par la position x(t) de la bille lors de la phase de propulsion
est la suivante : m¨ x + k(x − l 0 ) = 0.
a. Résoudre l’équation différentielle et en déduire l’expression de x(t) au cours de cette phase
avec une compression initiale de a = 4,0 cm (sans vitesse initiale).
b. Quelle est la vitesse maximale atteinte par la bille ?
Exercice 1.5 Fabricando fit faber
L’abscisse x(t) d’un oscillateur obéit à l’équation différentielle a¨ x + bx = c. Nous envisageons les
trois cas suivants :
— Cas (1) : a = 1,0 ; b = 5,0 USI ; c = 0.
— Cas (2) : a = 1,0 ; b = 6,0 USI ; c = 8,0 USI.
— Cas (3) : a = 2,0 ; b = 1,0 USI ; c = 0.
1. Préciser les unités manquantes pour les constantes b et c.
2. Résoudre ces équations, avec les conditions initiales x(0) = 1,0 m et ˙
x(0) = 0,0 m · s
−1 . Préciser
dans chaque cas la pulsation propre puis la période de l’oscillateur.
3. Reprendre la question précédente avec x(0) = 0,0 m et ˙
x(0) = 1,0 m · s
−1 .
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Oscillateur harmonique
Exercice 1.3 En apesanteur
Il est important pour les astronautes de suivre l’évolution de leur masse corporelle au cours d’une
mission spatiale. Or l’apesanteur rend inopérants les dispositifs habituels de mesure de la masse.
Les astronautes utilisent alors une balance inertielle : il s’agit d’une sorte de chaise reliée à un point
fixe du vaisseau par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k. L’ensemble oscille à une fréquence
dépendant de la masse posée sur la chaise. La fréquence d’oscillations mesurée est f 0 = 0,710 Hz
lorsque la chaise est vide. La masse de cette dernière est m 0 = 30 kg.
1. Un astronaute de masse m prend place sur le dispositif. La période des oscillations est alors
T = 2,56 s. Déterminer m.
2. Que vaut la raideur k du ressort ?
Exercice 1.4 Un ressort à tout casser
Le jeune Nicolas s’amuse à viser ses soldats en plomb avec des billes en utilisant un ressort en guise
de lanceur. Il place la bille contre le ressort, comprime celui-ci, puis lâche la bille.
x
x(t)
(k, l 0 )
M
O
Nous négligeons tout frottement avec le sol de sorte que
la bille peut être assimilée à un point M d’abscisse x(t)
en translation selon l’axe Ox. La longueur du ressort à
l’instant t est ainsi x(t).
Le ressort possède une longueur à vide l 0 = 6,0 cm et une
raideur k = 80 N · m
−1 . La masse des billes est m = 1,3 g.
1. Par des considérations énergétiques, déterminer la vitesse maximale atteinte par la bille si
Nicolas comprime initialement son ressort de a = 4,0 cm.
2. Nous souhaitons retrouver ce résultat par une autre méthode.
L’équation différentielle vérifiée par la position x(t) de la bille lors de la phase de propulsion
est la suivante : m¨ x + k(x − l 0 ) = 0.
a. Résoudre l’équation différentielle et en déduire l’expression de x(t) au cours de cette phase
avec une compression initiale de a = 4,0 cm (sans vitesse initiale).
b. Quelle est la vitesse maximale atteinte par la bille ?
Exercice 1.5 Fabricando fit faber
L’abscisse x(t) d’un oscillateur obéit à l’équation différentielle a¨ x + bx = c. Nous envisageons les
trois cas suivants :
— Cas (1) : a = 1,0 ; b = 5,0 USI ; c = 0.
— Cas (2) : a = 1,0 ; b = 6,0 USI ; c = 8,0 USI.
— Cas (3) : a = 2,0 ; b = 1,0 USI ; c = 0.
1. Préciser les unités manquantes pour les constantes b et c.
2. Résoudre ces équations, avec les conditions initiales x(0) = 1,0 m et ˙
x(0) = 0,0 m · s
−1 . Préciser
dans chaque cas la pulsation propre puis la période de l’oscillateur.
3. Reprendre la question précédente avec x(0) = 0,0 m et ˙
x(0) = 1,0 m · s
−1 .
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