Exercices 17
Exercices
Exercice 1.1 Les valeurs de Sophie
Méthode (1.1)
Étudiante en MPSI, Sophie réalise l’enregistrement du mouvement de trois oscillateurs harmoniques
rappelé sur la figure ci-dessous.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (s)
−3
−2
−1
0
1
2
3
x (cm)
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
Elle propose alors les expressions suivantes :
x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t) ; x 2 (t) = A 2 cos(ω 2 t)
et x 3 (t) = A 3 cos(ω 3 t)
avec A 1 = 2,0 m, A 2 = 1,5 m, A 3 = 3,0 m,
ω 1 = ω 2 = 6,0 rad · s
−2 , ω 3 = 8,0 rad · s
−2 .
1. Vérifier les valeurs des amplitudes et des pulsations proposées par Sophie en portant un soin
particulier aux unités proposées. Corriger si nécessaire.
2. Sophie a omis d’indiquer la phase à l’origine dans les trois cas. Réparer cet oubli et proposer
des expressions de x 1 (t), x 2 (t) et x 3 (t).
Exercice 1.2 Un peu d’écriture
Méthodes (1.2) (1.3)
L’abscisse x(t) d’un point matériel M obéit à l’équation différentielle suivante : ¨
x + ω
2
0 x = ω
2
0 x e .
La position et la vitesse initiales de M sont respectivement x(0) = x 0 et ˙
x(0) = v 0 .
1. En écrivant la solution x(t) sous la forme x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + x p , exprimer A, B, x p
et ω.
2. Montrer que x(t) peut aussi s’écrire sous la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ) + x p . Déterminer les
expressions de C et ϕ.
3. On prend x e = 0,0 m et ω 0 = 6,0 rad · s
−1 . Calculer A, B, x p puis C et ϕ avec les conditions
initiales :
a. x 0 = 1,0 m et v 0 = 6,0 m · s
−1 .
b. x 0 = −1,0 m et v 0 = 6,0 m · s
−1 .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercices
Exercice 1.1 Les valeurs de Sophie
Méthode (1.1)
Étudiante en MPSI, Sophie réalise l’enregistrement du mouvement de trois oscillateurs harmoniques
rappelé sur la figure ci-dessous.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (s)
−3
−2
−1
0
1
2
3
x (cm)
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
Elle propose alors les expressions suivantes :
x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t) ; x 2 (t) = A 2 cos(ω 2 t)
et x 3 (t) = A 3 cos(ω 3 t)
avec A 1 = 2,0 m, A 2 = 1,5 m, A 3 = 3,0 m,
ω 1 = ω 2 = 6,0 rad · s
−2 , ω 3 = 8,0 rad · s
−2 .
1. Vérifier les valeurs des amplitudes et des pulsations proposées par Sophie en portant un soin
particulier aux unités proposées. Corriger si nécessaire.
2. Sophie a omis d’indiquer la phase à l’origine dans les trois cas. Réparer cet oubli et proposer
des expressions de x 1 (t), x 2 (t) et x 3 (t).
Exercice 1.2 Un peu d’écriture
Méthodes (1.2) (1.3)
L’abscisse x(t) d’un point matériel M obéit à l’équation différentielle suivante : ¨
x + ω
2
0 x = ω
2
0 x e .
La position et la vitesse initiales de M sont respectivement x(0) = x 0 et ˙
x(0) = v 0 .
1. En écrivant la solution x(t) sous la forme x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + x p , exprimer A, B, x p
et ω.
2. Montrer que x(t) peut aussi s’écrire sous la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ) + x p . Déterminer les
expressions de C et ϕ.
3. On prend x e = 0,0 m et ω 0 = 6,0 rad · s
−1 . Calculer A, B, x p puis C et ϕ avec les conditions
initiales :
a. x 0 = 1,0 m et v 0 = 6,0 m · s
−1 .
b. x 0 = −1,0 m et v 0 = 6,0 m · s
−1 .
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