194 Chapitre 8
Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Quelle est la forme de l’équation différentielle vérifiée par i(t) ?
La loi des mailles appliquée au circuit RLC série conduit à : u L + Ri + u C = E m cos(ωt) avec
ω = 2πf , u L = L
di
dt
et i = C
du C
dt
. Après dérivation de cette équation par rapport au temps,
élimination de u C et u L et division par L, nous obtenons :
(8.1)
d
2 i
dt 2 +
R
L
di
dt
+
1
LC
i = −
E m ω
L
sin (ωt) =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Soit, en introduisant la pulsation propre ω 0 =
1
√
LC
et le facteur de qualité Q =
L
R
ω 0 =
1
R
L
C
:
(8.2)
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Quelle est la forme de l’évolution temporelle de l’intensité du courant i(t) ?
L’équation 8.2 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec
un second membre sinusoïdal. La solution de cette équation est la somme :
• de la solution de l’équation sans second membre qui a été déterminée en fonction des valeurs
de ω 0 et Q dans le chapitre précédent ;
• d’une solution particulière de l’équation complète avec second membre sinusoïdal.
Nous avons vu au chapitre précédent que la solution de l’équation sans second membre, correspondant à un régime libre, tend vers 0 quelle que soit la valeur de Q. En posant τ =
2Q
ω 0
, nous pouvons
négliger dans l’expression de i(t), au bout de quelques τ , le terme correspondant à ce régime libre.
Le régime transitoire est alors terminé et fait place à un régime forcé.
Quelle est la forme du régime forcé pour une tension d’alimentation sinusoïdale ?
Pour répondre à cette question, nous avons enregistré en régime forcé les évolutions temporelles
de la tension d’entrée et de la tension aux bornes de R
, image de l’intensité du courant dans le
circuit. La figure 8.1 présente ces enregistrements pour deux valeurs différentes de la fréquence.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (ms)
−4
−2
0
2
4
u (V)
L = 11,3 mH C = 1,0 μF R = 14,5 Ω E m = 2,54 V f = 1434 Hz
e(t)
R
i(t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (ms)
−4
−2
0
2
4
u (V)
L = 11,3 mH C = 1,0 μF R = 14,5 Ω E m = 2,54 V f = 1506 Hz
e(t)
R
i(t)
Figure 8.1. Évolutions temporelles de e et de u R = R
i pour deux fréquences différentes.
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Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé
Quelle est la forme de l’équation différentielle vérifiée par i(t) ?
La loi des mailles appliquée au circuit RLC série conduit à : u L + Ri + u C = E m cos(ωt) avec
ω = 2πf , u L = L
di
dt
et i = C
du C
dt
. Après dérivation de cette équation par rapport au temps,
élimination de u C et u L et division par L, nous obtenons :
(8.1)
d
2 i
dt 2 +
R
L
di
dt
+
1
LC
i = −
E m ω
L
sin (ωt) =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Soit, en introduisant la pulsation propre ω 0 =
1
√
LC
et le facteur de qualité Q =
L
R
ω 0 =
1
R
L
C
:
(8.2)
d
2 i
dt 2 +
ω 0
Q
di
dt
+ ω
2
0 i =
E m ω
L
cos
ωt +
π
2
Quelle est la forme de l’évolution temporelle de l’intensité du courant i(t) ?
L’équation 8.2 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec
un second membre sinusoïdal. La solution de cette équation est la somme :
• de la solution de l’équation sans second membre qui a été déterminée en fonction des valeurs
de ω 0 et Q dans le chapitre précédent ;
• d’une solution particulière de l’équation complète avec second membre sinusoïdal.
Nous avons vu au chapitre précédent que la solution de l’équation sans second membre, correspondant à un régime libre, tend vers 0 quelle que soit la valeur de Q. En posant τ =
2Q
ω 0
, nous pouvons
négliger dans l’expression de i(t), au bout de quelques τ , le terme correspondant à ce régime libre.
Le régime transitoire est alors terminé et fait place à un régime forcé.
Quelle est la forme du régime forcé pour une tension d’alimentation sinusoïdale ?
Pour répondre à cette question, nous avons enregistré en régime forcé les évolutions temporelles
de la tension d’entrée et de la tension aux bornes de R
, image de l’intensité du courant dans le
circuit. La figure 8.1 présente ces enregistrements pour deux valeurs différentes de la fréquence.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (ms)
−4
−2
0
2
4
u (V)
L = 11,3 mH C = 1,0 μF R = 14,5 Ω E m = 2,54 V f = 1434 Hz
e(t)
R
i(t)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t (ms)
−4
−2
0
2
4
u (V)
L = 11,3 mH C = 1,0 μF R = 14,5 Ω E m = 2,54 V f = 1506 Hz
e(t)
R
i(t)
Figure 8.1. Évolutions temporelles de e et de u R = R
i pour deux fréquences différentes.
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