Corrections 191
3. La tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans la bobines varient de façon
continue. Nous en déduisons les conditions initiales u(0) =
q0
C
et i(0) = 0.
4. Sur le graphe, au niveau de l’axe des abscisses, 7 pseudo-périodes correspondent à 8,9 ms. Nous en
déduisons T = 1,3 ms. Par ailleurs nous lisons : u(0) = 1,0 V et u(T ) = 0,68 V. D’où : δ = 0,38.
5. La tension u(t) peut s’écrire sous la forme u(t) = exp
−
ω0t
2Q
(A cos(ωt + ϕ)) où ω =
2π
T
. Nous
en déduisons :
u(t)
u(t + T )
= exp
ω0T
2Q
et donc δ =
ω0T
2Q
. Par ailleurs : T =
2π
ω0
1 −
1
4Q 2
, d’où
finalement : δ =
π
Q 2 −
1
4
, soit Q =
π
2
δ 2 +
1
4
.
6. A partir des valeurs numériques de δ et T , nous obtenons en utilisant les relations de la question
précédente : Q =
π
2
δ 2 +
1
4
= 8,3 et ω0 =
2Qδ
T
= 4,8 · 10
3 rad · s
−1 .
Pour trouver L et r, nous pouvons simplifier les expressions de ω0 et Q en faisant l’hypothèse que r est
très inférieure à R. Nous obtenons : ω0
1
√
LC
d’où : L
1
ω
2
0 C
= 43 mH puis Q
1
ω0
rC +
L
R
,
d’où r
1
C
1
ω0Q
−
L
R
= 21 Ω. La valeur de r valide l’hypothèse r R. Par ailleurs ces valeurs de
r et L sont typiques des caractéristiques d’une bobine usuellement utilisée en travaux pratiques.
Exercice 7.9
1. Le solide est soumis à son poids m #» g = −mg # »
uz, à la réaction normale
#»
N = N # »
uz, aux forces de rappel
des ressorts −k1(x−l10) #» u x et k2(L−x−l20) #» u x = −k2(x−l10) #» u x et à la force de frottement
#»
f = −h #» v .
Remarquons que la somme des tensions des deux ressorts s’écrit : −(k1 + k2)(x − l10) #» u x et s’identifie
à la force de rappel exercée par un ressort unique de raideur k1 + k2.
2. La loi de la quantité de mouvement appliquée à M dans le référentiel galiléen R conduit à :
m #» a (M ) =
#»
N + m #» g − (k1 + k2)(x − l10) #» u x − h ˙
x #» u x
À l’équilibre et en projection sur #» ux, on obtient : −(k1 + k2)(xeq − l10) = 0. D’où : xeq = l10.
3. L’équation ci-dessus fournit, en projection sur #» ux : m¨ x+h ˙
x+(k1 +k2)(x−l10) = 0, soit en introduisant
X(t) = x(t) − xeq : m ¨
X + h ˙
X + (k1 + k2)X = 0
4. Précisons les analogies électro-mécaniques :
k1
k2
m h X
˙
X
a
1/C1 1/C2 L R q i = ˙
q q0
C1 et C2 sont les capacités de deux condensateurs. Les ressorts étant équivalents à un ressort unique de
raideur k = k1 + k2, ces condensateurs doivent être équivalents à un condensateur unique de capacité
C tel que 1/C = 1/C1 + 1/C2. Ils doivent être placés en série. Par analogie les ressorts sont également
dits en série. L est l’inductance d’une bobine, R une résistance, q la charge du condensateur équivalent,
i l’intensité du courant circulant dans le condensateur équivalent et q0 la valeur initiale de q.
Le schéma électrique équivalent est représenté ci-contre.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
3. La tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans la bobines varient de façon
continue. Nous en déduisons les conditions initiales u(0) =
q0
C
et i(0) = 0.
4. Sur le graphe, au niveau de l’axe des abscisses, 7 pseudo-périodes correspondent à 8,9 ms. Nous en
déduisons T = 1,3 ms. Par ailleurs nous lisons : u(0) = 1,0 V et u(T ) = 0,68 V. D’où : δ = 0,38.
5. La tension u(t) peut s’écrire sous la forme u(t) = exp
−
ω0t
2Q
(A cos(ωt + ϕ)) où ω =
2π
T
. Nous
en déduisons :
u(t)
u(t + T )
= exp
ω0T
2Q
et donc δ =
ω0T
2Q
. Par ailleurs : T =
2π
ω0
1 −
1
4Q 2
, d’où
finalement : δ =
π
Q 2 −
1
4
, soit Q =
π
2
δ 2 +
1
4
.
6. A partir des valeurs numériques de δ et T , nous obtenons en utilisant les relations de la question
précédente : Q =
π
2
δ 2 +
1
4
= 8,3 et ω0 =
2Qδ
T
= 4,8 · 10
3 rad · s
−1 .
Pour trouver L et r, nous pouvons simplifier les expressions de ω0 et Q en faisant l’hypothèse que r est
très inférieure à R. Nous obtenons : ω0
1
√
LC
d’où : L
1
ω
2
0 C
= 43 mH puis Q
1
ω0
rC +
L
R
,
d’où r
1
C
1
ω0Q
−
L
R
= 21 Ω. La valeur de r valide l’hypothèse r R. Par ailleurs ces valeurs de
r et L sont typiques des caractéristiques d’une bobine usuellement utilisée en travaux pratiques.
Exercice 7.9
1. Le solide est soumis à son poids m #» g = −mg # »
uz, à la réaction normale
#»
N = N # »
uz, aux forces de rappel
des ressorts −k1(x−l10) #» u x et k2(L−x−l20) #» u x = −k2(x−l10) #» u x et à la force de frottement
#»
f = −h #» v .
Remarquons que la somme des tensions des deux ressorts s’écrit : −(k1 + k2)(x − l10) #» u x et s’identifie
à la force de rappel exercée par un ressort unique de raideur k1 + k2.
2. La loi de la quantité de mouvement appliquée à M dans le référentiel galiléen R conduit à :
m #» a (M ) =
#»
N + m #» g − (k1 + k2)(x − l10) #» u x − h ˙
x #» u x
À l’équilibre et en projection sur #» ux, on obtient : −(k1 + k2)(xeq − l10) = 0. D’où : xeq = l10.
3. L’équation ci-dessus fournit, en projection sur #» ux : m¨ x+h ˙
x+(k1 +k2)(x−l10) = 0, soit en introduisant
X(t) = x(t) − xeq : m ¨
X + h ˙
X + (k1 + k2)X = 0
4. Précisons les analogies électro-mécaniques :
k1
k2
m h X
˙
X
a
1/C1 1/C2 L R q i = ˙
q q0
C1 et C2 sont les capacités de deux condensateurs. Les ressorts étant équivalents à un ressort unique de
raideur k = k1 + k2, ces condensateurs doivent être équivalents à un condensateur unique de capacité
C tel que 1/C = 1/C1 + 1/C2. Ils doivent être placés en série. Par analogie les ressorts sont également
dits en série. L est l’inductance d’une bobine, R une résistance, q la charge du condensateur équivalent,
i l’intensité du courant circulant dans le condensateur équivalent et q0 la valeur initiale de q.
Le schéma électrique équivalent est représenté ci-contre.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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