190 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
2. Soit #» uz le vecteur unitaire de la verticale ascendante et z la cote du centre d’inertie Gi du tonneau (i)
comptée à partir de sa position d’équilibre. Si Gi se déplace de z, alors la hauteur immergée devient
h = hi − z. L’application de la loi de la quantité de mouvement au tonneau mène à :
mi ¨
z = −f ˙
z − mig + μπ
D
2
2
hg = −f ˙
z − mig + μπ
D
2
2
(hi − z)g
Après simplification et division par mi, on obtient :
¨
z +
f
mi
˙
z + π
D
2
2 μg
mi
z = 0 soit ¨
z +
ω0i
Qi
˙
z + ω
2
0i z = 0 avec
ω0i
Qi
=
f
mi
et ω0i =
D
2
πμg
mi
Le temps τi caractérisant le retour à l’équilibre pour le tonneau (i) est : τi =
2Qi
ω0i
=
2mi
f
. Le
retour à l’équilibre se fait selon un régime pseudo-périodique de pseudo-période Ti = 2π/ωi avec
ωi = ω0i
1 −
1
4Q
2
i
=
ω
2
0i −
1
τ
2
i
. Résumons dans un tableau :
Tonneau (1)
(2)
(3)
(4)
mi en kg
77
1,2 · 10
2
1,9 · 10
2
2,1 · 10
2
τi en s
15
23
38
42
Ti en s
0,90
1,1
1,4
1,5
Exercice 7.8
1. Nous pouvons proposer le montage ci-contre. Le condensateur
est chargé à travers une résistance R0 sous une tension E.
Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant dans
le circuit est nulle et la tension aux bornes du condensateur est
égale à E. La charge du condensateur vaut alors q0 = CE. Pour
avoir q0 = 1,0 · 10
−6 C, il suffit de prendre E = 1,0 V.
E
R0
C
K
2. Le schéma ci-contre indique les conventions choisies au niveau
de chaque branche du circuit.
La loi des nœuds appliquée en A donne : iC = i + iR soit en
isolant i : i = iC − iR. Les relations tension-courant aux bornes
des différentes branches en parallèle donnent : u = ri + L
di
dt
,
u =
q
C
et u = RiR.
Par ailleurs, au niveau du condensateur (attention aux conventions de signe choisies) : iC = −
dq
dt
= −C
du
dt
.
R
iR
C
iC
r
i
L
u(t)
q(t)
•
A
En éliminant i de la relation tension-courant de la bobine, on obtient :
u = ri + L
di
dt
= riC − riR + L
diC
dt
− L
diR
dt
.
Puis en éliminant iC et iR au profit de u : u = −rC
du
dt
−
r
R
u − LC
d
2 u
dt 2 −
L
R
du
dt
. Il vient ainsi :
LC
d
2 u
dt 2 +
rC +
L
R
du
dt
+
1 +
r
R
u = 0, ce qui peut se mettre sous la forme :
d
2 u
dt 2 +
ω0
Q
du
dt
+ω
2
0 u(t) = 0
avec ω0 =
1 +
r
R
1
LC
et Q =
1
rC +
L
R
1 +
r
R
LC
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Oscillateurs amortis
2. Soit #» uz le vecteur unitaire de la verticale ascendante et z la cote du centre d’inertie Gi du tonneau (i)
comptée à partir de sa position d’équilibre. Si Gi se déplace de z, alors la hauteur immergée devient
h = hi − z. L’application de la loi de la quantité de mouvement au tonneau mène à :
mi ¨
z = −f ˙
z − mig + μπ
D
2
2
hg = −f ˙
z − mig + μπ
D
2
2
(hi − z)g
Après simplification et division par mi, on obtient :
¨
z +
f
mi
˙
z + π
D
2
2 μg
mi
z = 0 soit ¨
z +
ω0i
Qi
˙
z + ω
2
0i z = 0 avec
ω0i
Qi
=
f
mi
et ω0i =
D
2
πμg
mi
Le temps τi caractérisant le retour à l’équilibre pour le tonneau (i) est : τi =
2Qi
ω0i
=
2mi
f
. Le
retour à l’équilibre se fait selon un régime pseudo-périodique de pseudo-période Ti = 2π/ωi avec
ωi = ω0i
1 −
1
4Q
2
i
=
ω
2
0i −
1
τ
2
i
. Résumons dans un tableau :
Tonneau (1)
(2)
(3)
(4)
mi en kg
77
1,2 · 10
2
1,9 · 10
2
2,1 · 10
2
τi en s
15
23
38
42
Ti en s
0,90
1,1
1,4
1,5
Exercice 7.8
1. Nous pouvons proposer le montage ci-contre. Le condensateur
est chargé à travers une résistance R0 sous une tension E.
Lorsque le condensateur est chargé, l’intensité du courant dans
le circuit est nulle et la tension aux bornes du condensateur est
égale à E. La charge du condensateur vaut alors q0 = CE. Pour
avoir q0 = 1,0 · 10
−6 C, il suffit de prendre E = 1,0 V.
E
R0
C
K
2. Le schéma ci-contre indique les conventions choisies au niveau
de chaque branche du circuit.
La loi des nœuds appliquée en A donne : iC = i + iR soit en
isolant i : i = iC − iR. Les relations tension-courant aux bornes
des différentes branches en parallèle donnent : u = ri + L
di
dt
,
u =
q
C
et u = RiR.
Par ailleurs, au niveau du condensateur (attention aux conventions de signe choisies) : iC = −
dq
dt
= −C
du
dt
.
R
iR
C
iC
r
i
L
u(t)
q(t)
•
A
En éliminant i de la relation tension-courant de la bobine, on obtient :
u = ri + L
di
dt
= riC − riR + L
diC
dt
− L
diR
dt
.
Puis en éliminant iC et iR au profit de u : u = −rC
du
dt
−
r
R
u − LC
d
2 u
dt 2 −
L
R
du
dt
. Il vient ainsi :
LC
d
2 u
dt 2 +
rC +
L
R
du
dt
+
1 +
r
R
u = 0, ce qui peut se mettre sous la forme :
d
2 u
dt 2 +
ω0
Q
du
dt
+ω
2
0 u(t) = 0
avec ω0 =
1 +
r
R
1
LC
et Q =
1
rC +
L
R
1 +
r
R
LC
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