Corrections 189
3. En dérivant E(t) on obtient :
dE
dt
= −
ω0
Q
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
< 0. On peut en conclure que E(t) diminue
au cours des oscillations. Cette dissipation de l’énergie mécanique est due à la force de frottement fluide.
4. Calculons la variation relative d’énergie pendant une période :
ΔE
E
=
E(t + T ) − E(t)
E(t)
=
E(t + T )
E(t)
− 1 = exp
−
ω0T
Q
− 1 exp
−
2π
Q
− 1 −
2π
Q
Le facteur de qualité est donc inversement proportionnel à la variation relative d’énergie au cours d’une
période : Q = −2π
E
ΔE
. Si Q est élevé, l’oscillateur reviendra vers sa position d’équilibre avec un grand
nombre d’oscillations car il perd peu d’énergie à chaque oscillation.
Exercice 7.6
1. Si le point matériel se déplace à la vitesse #» v dans R, la puissance de la force
#»
F est P =
#»
F · #» v .
Dans le cas où cette force est conservative, sa puissance et son énergie potentielle (définie à une constante
près) sont liées par la relation : P = −
dEp
dt
.
2. Résumons dans un tableau :
Force
Puissance
Force conservative
Énergie potentielle
Force de frottement fluide
P f = −h ˙
z
2
Non
Force de rappel du ressort Pe = −k(z − l0) ˙
z
Oui
Epe =
1
2
k(z − l0)
2 + C1
Poids
Pp = mg ˙
z
Oui
Epp = −mgz + C2
En effet : Pe = −k(z − l0) ˙
z = −
d
dt
1
2
k(z − l0)
2
et Pp = mg ˙
z = −
d
dt
(−mgz). Les énergies
potentielles sont bien entendu définies à une constante additive près.
3. En multipliant l’équation du mouvement par ˙
z, nous faisons apparaître les puissances :
m¨ z ˙
z = mg ˙
z − h ˙
z
2 − k(z − l0) ˙
z =⇒ m¨ z ˙
z = Pp + P f + Pe
4. En remarquant que m¨ z ˙
z =
d
dt
1
2
m ˙
z
2
=
dEc
dt
, l’équation précédente conduit à :
dEc
dt
− Pp − Pe = P f =⇒
dEc
dt
+
dEpp
dt
+
dEpe
dt
= P f =⇒
d(Ec + Ep)
dt
= P f où Ep = Epe + Epp
L’énergie potentielle étant définie à une constante près, nous prendrons C = C1 + C2 = 0 par la suite.
5. L’équation précédente peut s’écrire d(Ec + Ep) = P f dt = δW f . Elle nous permet, par intégration entre
t = 0 et t → ∞, de faire un bilan d’énergie au cours du mouvement : Δ(Ec + Ep) = W f . L’énergie
cinétique étant nulle au début et à la fin des oscillations, on en déduit ΔEp = W f .
En posant Z = z − zeq, avec zeq = l0 +
mg
k
, on obtient Ep =
1
2
k(z − l0)
2 − mgz =
1
2
kZ
2 . À la fin,
le système est à l’équilibre, donc Z = 0. Au début, il est écarté de sa position d’équilibre de a, donc
Z = a. On en déduit ΔEp = 0 −
1
2
ka
2 = −
1
2
ka
2 . D’où : W f = −
1
2
ka
2 . Or Ep =
1
2
ka
2 représente
l’énergie qu’on fournit initialement à (S) en l’écartant de sa position d’équilibre et en l’abandonnant
sans vitesse. Cette énergie est donc dissipée par les frottements lors du retour de (S) à l’équilibre.
Exercice 7.7
1. Le tonneau (i) est à l’équilibre sous l’effet de son poids mi #» g et de la poussée d’Archimède −μπ
D
2
2
hi #» g .
On en déduit : mi #» g − μπ
D
2
2
hi #» g =
#»
0 et finalement : hi =
4mi
μπD 2 .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
3. En dérivant E(t) on obtient :
dE
dt
= −
ω0
Q
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
< 0. On peut en conclure que E(t) diminue
au cours des oscillations. Cette dissipation de l’énergie mécanique est due à la force de frottement fluide.
4. Calculons la variation relative d’énergie pendant une période :
ΔE
E
=
E(t + T ) − E(t)
E(t)
=
E(t + T )
E(t)
− 1 = exp
−
ω0T
Q
− 1 exp
−
2π
Q
− 1 −
2π
Q
Le facteur de qualité est donc inversement proportionnel à la variation relative d’énergie au cours d’une
période : Q = −2π
E
ΔE
. Si Q est élevé, l’oscillateur reviendra vers sa position d’équilibre avec un grand
nombre d’oscillations car il perd peu d’énergie à chaque oscillation.
Exercice 7.6
1. Si le point matériel se déplace à la vitesse #» v dans R, la puissance de la force
#»
F est P =
#»
F · #» v .
Dans le cas où cette force est conservative, sa puissance et son énergie potentielle (définie à une constante
près) sont liées par la relation : P = −
dEp
dt
.
2. Résumons dans un tableau :
Force
Puissance
Force conservative
Énergie potentielle
Force de frottement fluide
P f = −h ˙
z
2
Non
Force de rappel du ressort Pe = −k(z − l0) ˙
z
Oui
Epe =
1
2
k(z − l0)
2 + C1
Poids
Pp = mg ˙
z
Oui
Epp = −mgz + C2
En effet : Pe = −k(z − l0) ˙
z = −
d
dt
1
2
k(z − l0)
2
et Pp = mg ˙
z = −
d
dt
(−mgz). Les énergies
potentielles sont bien entendu définies à une constante additive près.
3. En multipliant l’équation du mouvement par ˙
z, nous faisons apparaître les puissances :
m¨ z ˙
z = mg ˙
z − h ˙
z
2 − k(z − l0) ˙
z =⇒ m¨ z ˙
z = Pp + P f + Pe
4. En remarquant que m¨ z ˙
z =
d
dt
1
2
m ˙
z
2
=
dEc
dt
, l’équation précédente conduit à :
dEc
dt
− Pp − Pe = P f =⇒
dEc
dt
+
dEpp
dt
+
dEpe
dt
= P f =⇒
d(Ec + Ep)
dt
= P f où Ep = Epe + Epp
L’énergie potentielle étant définie à une constante près, nous prendrons C = C1 + C2 = 0 par la suite.
5. L’équation précédente peut s’écrire d(Ec + Ep) = P f dt = δW f . Elle nous permet, par intégration entre
t = 0 et t → ∞, de faire un bilan d’énergie au cours du mouvement : Δ(Ec + Ep) = W f . L’énergie
cinétique étant nulle au début et à la fin des oscillations, on en déduit ΔEp = W f .
En posant Z = z − zeq, avec zeq = l0 +
mg
k
, on obtient Ep =
1
2
k(z − l0)
2 − mgz =
1
2
kZ
2 . À la fin,
le système est à l’équilibre, donc Z = 0. Au début, il est écarté de sa position d’équilibre de a, donc
Z = a. On en déduit ΔEp = 0 −
1
2
ka
2 = −
1
2
ka
2 . D’où : W f = −
1
2
ka
2 . Or Ep =
1
2
ka
2 représente
l’énergie qu’on fournit initialement à (S) en l’écartant de sa position d’équilibre et en l’abandonnant
sans vitesse. Cette énergie est donc dissipée par les frottements lors du retour de (S) à l’équilibre.
Exercice 7.7
1. Le tonneau (i) est à l’équilibre sous l’effet de son poids mi #» g et de la poussée d’Archimède −μπ
D
2
2
hi #» g .
On en déduit : mi #» g − μπ
D
2
2
hi #» g =
#»
0 et finalement : hi =
4mi
μπD 2 .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com