188 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
2. Pour les quatre graphes restants, les trajectoires de phases s’achèvent en x = 0 qui est donc la position
d’équilibre stable. Le sens de parcours est comme nous l’avons vu précédemment le sens horaire. Pour
les portraits de phase 3 et 4, les conditions initiales sont du type x(0) = x0 et ˙
x(0) = 0 : l’oscillateur
est écarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse. Pour le portrait de phase 6, x(0) = 0 mais
˙
x(0) = ˙
x0 : l’oscillateur est lancé depuis sa position d’équilibre avec une vitesse non nulle. Enfin, pour
le portrait de phase 5 : x(0) = x0 et ˙
x(0) = ˙
x0 : l’oscillateur est écarté de sa position d’équilibre et
lancé avec une vitesse non nulle.
Pour les portraits de phase 3, 4 et 6, la trajectoire de phase s’enroule autour de la position d’équilibre.
Ils correspondent donc à des régimes pseudo-périodiques, l’amortissement augmentant du 3 au 4 et du
4 au 6. Le portrait de phase 5 correspond à un retour à l’équilibre apériodique amorti.
Exercice 7.4
1. La loi de la quantité de mouvement appliquée à la masse m repérée par sa cote z s’écrit en projection
sur un axe vertical ascendant : m¨ z = −h ˙
z − k(z − l0) − mg. Soit, en introduisant ze = l0 −
mg
k
cote de
la position d’équilibre et Z = z − ze cote à partir de la position d’équilibre :
¨
Z +
h
m
˙
Z +
k
m
Z = 0 =⇒
¨
Z +
ω0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec ω0 =
k
m
et Q =
√
km
h
Le retour à l’équilibre le plus rapide et sans oscillations se fait au régime critique, pour lequel on a
Q =
√
km/h = 1/2. Avec m = M/4, cela conduit à h = 2
√
km = 4,4 · 10
3 kg · s
−1 .
2. En raison de l’usure des amortisseurs, le coefficient de frottement devient égal à h
= 3,7 · 10
3 kg · s
−1 et
le facteur de qualité à Q
=
√
km/h
= 0,6. Il est supérieur à 1/2. Le mouvement vertical devient pseudopériodique, de pseudo-pulsation ω
= ω0
1 −
1
4Q 2 = 3,8 rad · s
−1 , de pseudo-période T
=
2π
ω
= 1,7 s.
Les irrégularités de surface de la route donneront naissance à des oscillations du châssis susceptibles
de provoquer le mal des transports chez certains passagers.
Exercice 7.5
1. Nous supposons Q 1. Le mouvement est donc pseudo-périodique et la pseudo-pulsation ω est très
voisine de ω0. La solution s’écrit, en prenant ω ω0 : Z(t) exp
−
ω0t
2Q
[A cos(ω0t) + B sin(ω0t)]
où A et B sont des constantes déterminées à l’aide des conditions initiales : Z(0) = a = A et ˙
Z(0) = 0,
d’où 0 = Bω0 − A
ω0
2Q
Bω0.
Finalement : Z(t) a exp
−
ω0t
2Q
cos(ω0t) et ˙
Z(t) −aω0 exp
−
ω0t
2Q
sin(ω0t).
2. L’énergie potentielle de (S) est la somme de son énergie potentielle élastique et de son énergie potentielle
de pesanteur. À une constante additive près, elle est de la forme : Ep =
1
2
k(z − l0)
2 − mgz + C.
À l’équilibre, la tension du ressort compensant le poids de (S), il vient : −k(zeq − l0) + mg = 0. On en
déduit : zeq = l0 +
mg
k
, puis : z(t) = Z(t) + zeq = Z(t) + l0 +
mg
k
. En injectant cette forme de z dans
l’expression de Ep on obtient, après simplification : Ep =
1
2
kZ
2 + Epo, où Epo est une constante qu’on
peut prendre nulle en posant Ep = 0 à l’équilibre. L’énergie mécanique de (S) s’écrit alors :
E(t) =
1
2
m ˙
Z
2 +
1
2
kZ
2
1
2
ma
2 ω
2
0 exp
−
ω0t
Q
sin
2 (ω0t) +
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
cos
2 (ω0t).
Finalement : E(t)
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
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Oscillateurs amortis
2. Pour les quatre graphes restants, les trajectoires de phases s’achèvent en x = 0 qui est donc la position
d’équilibre stable. Le sens de parcours est comme nous l’avons vu précédemment le sens horaire. Pour
les portraits de phase 3 et 4, les conditions initiales sont du type x(0) = x0 et ˙
x(0) = 0 : l’oscillateur
est écarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse. Pour le portrait de phase 6, x(0) = 0 mais
˙
x(0) = ˙
x0 : l’oscillateur est lancé depuis sa position d’équilibre avec une vitesse non nulle. Enfin, pour
le portrait de phase 5 : x(0) = x0 et ˙
x(0) = ˙
x0 : l’oscillateur est écarté de sa position d’équilibre et
lancé avec une vitesse non nulle.
Pour les portraits de phase 3, 4 et 6, la trajectoire de phase s’enroule autour de la position d’équilibre.
Ils correspondent donc à des régimes pseudo-périodiques, l’amortissement augmentant du 3 au 4 et du
4 au 6. Le portrait de phase 5 correspond à un retour à l’équilibre apériodique amorti.
Exercice 7.4
1. La loi de la quantité de mouvement appliquée à la masse m repérée par sa cote z s’écrit en projection
sur un axe vertical ascendant : m¨ z = −h ˙
z − k(z − l0) − mg. Soit, en introduisant ze = l0 −
mg
k
cote de
la position d’équilibre et Z = z − ze cote à partir de la position d’équilibre :
¨
Z +
h
m
˙
Z +
k
m
Z = 0 =⇒
¨
Z +
ω0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec ω0 =
k
m
et Q =
√
km
h
Le retour à l’équilibre le plus rapide et sans oscillations se fait au régime critique, pour lequel on a
Q =
√
km/h = 1/2. Avec m = M/4, cela conduit à h = 2
√
km = 4,4 · 10
3 kg · s
−1 .
2. En raison de l’usure des amortisseurs, le coefficient de frottement devient égal à h
= 3,7 · 10
3 kg · s
−1 et
le facteur de qualité à Q
=
√
km/h
= 0,6. Il est supérieur à 1/2. Le mouvement vertical devient pseudopériodique, de pseudo-pulsation ω
= ω0
1 −
1
4Q 2 = 3,8 rad · s
−1 , de pseudo-période T
=
2π
ω
= 1,7 s.
Les irrégularités de surface de la route donneront naissance à des oscillations du châssis susceptibles
de provoquer le mal des transports chez certains passagers.
Exercice 7.5
1. Nous supposons Q 1. Le mouvement est donc pseudo-périodique et la pseudo-pulsation ω est très
voisine de ω0. La solution s’écrit, en prenant ω ω0 : Z(t) exp
−
ω0t
2Q
[A cos(ω0t) + B sin(ω0t)]
où A et B sont des constantes déterminées à l’aide des conditions initiales : Z(0) = a = A et ˙
Z(0) = 0,
d’où 0 = Bω0 − A
ω0
2Q
Bω0.
Finalement : Z(t) a exp
−
ω0t
2Q
cos(ω0t) et ˙
Z(t) −aω0 exp
−
ω0t
2Q
sin(ω0t).
2. L’énergie potentielle de (S) est la somme de son énergie potentielle élastique et de son énergie potentielle
de pesanteur. À une constante additive près, elle est de la forme : Ep =
1
2
k(z − l0)
2 − mgz + C.
À l’équilibre, la tension du ressort compensant le poids de (S), il vient : −k(zeq − l0) + mg = 0. On en
déduit : zeq = l0 +
mg
k
, puis : z(t) = Z(t) + zeq = Z(t) + l0 +
mg
k
. En injectant cette forme de z dans
l’expression de Ep on obtient, après simplification : Ep =
1
2
kZ
2 + Epo, où Epo est une constante qu’on
peut prendre nulle en posant Ep = 0 à l’équilibre. L’énergie mécanique de (S) s’écrit alors :
E(t) =
1
2
m ˙
Z
2 +
1
2
kZ
2
1
2
ma
2 ω
2
0 exp
−
ω0t
Q
sin
2 (ω0t) +
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
cos
2 (ω0t).
Finalement : E(t)
1
2
ka
2 exp
−
ω0t
Q
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