Corrections 187
Exercice 7.1
1. Les équations ont respectivement pour solutions :
• Équation (1) : 1,0¨ x − 2,0 ˙
x + 5,0x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 − 2,0r + 5,0. Discriminant :
Δ = −16. Solutions de l’équation caractéristique : r1,2 = 1,0 ± 2,0i.
Solution générale de l’équation différentielle : x1(t) = exp(1,0t) (K1 cos(2,0t) + K2 sin(2,0t)).
C.I. ⇒ K1 = 1,0 et K2 = −0,5. D’où : x1(t) = exp(1,0t) (1,0 cos(2,0t) − 0,50 sin(2,0t)) m.
• Équation (2) : 1,0¨ x+0,30 ˙
x−6,0x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 +0,30r−6,0. Discriminant :
Δ = 24. Solutions de l’équation caractéristique : r1 = −2,6 et r2 = 2,3.
Solution générale de l’équation différentielle : x2(t) = K1 exp(−2,6t) + K2 exp(2,3t).
C.I. ⇒ K1 = 0,47 et K2 = 0,53. D’où : x2(t) = (0,47 exp(−2,6t) + 0,53 exp(2,3t)) m.
• Équation (3) : 1,0¨ x +0,10 ˙
x +25x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 +0,10r + 25. Discriminant :
Δ = −1,0.10
2 . Solutions de l’équation caractéristique : r1,2 = −5,0.10
−2 ± 5,0i. Solution générale
de l’équation différentielle : x3(t) = exp(−5,0.10
−2 t) (K1 cos(5,0t) + K2 sin(5,0t)). C.I. ⇒ K1 = 1,0
et K2 = 1,0.10
−2 . D’où : x3(t) = exp(−5,0.10
−2 t)
1,0 cos(5,0t) + 1,0.10
−2 sin(5,0t)
m.
• Équation (4) : 2,0¨ x + 10 ˙
x + 1,0x = 0. Équation caractéristique : 2,0r
2 + 10r + 1,0. Discriminant :
Δ = 92. Solutions de l’équation caractéristique : r1 = −4,9 et r2 = −0,10.
Solution générale de l’équation différentielle : x4(t) = K1 exp(−4,9t) + K2 exp(−0,10t).
C.I. ⇒ K1 = −2,1.10
−2 et K2 = 1,0 ⇒ x4(t) =
−2,1.10
−2 exp(−4,9t) + 1,0 exp(−0,10t)
m.
• Équation (5) : 1,0¨ x + 0,10 ˙
x + 25x = 8,0. La solution générale de cette équation avec second
membre constant est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre, qui n’est
autre que l’équation (3), et de la solution particulière constante xp =
8,0
25
= 0,32 de l’équation avec
second membre. D’où : x5(t) = 0,32 + exp(−5,0.10
−2 t) (K1 cos(5,0t) + K2 sin(5,0t)).
Les conditions initiales, utilisées sur la solution complète et non sur la solution de l’équation homogène, nous donnent : K1 = 0,68 et K2 = 0,68.10
−2 .
D’où : x5(t) =
0,32 + exp(−5,0.10
−2 t)
0,68 cos(5,0t) + 0,68.10
−2 sin(5,0t)
m.
Les valeurs des xi(t) obtenues sont exprimées en mètre.
2. Dans les deux premiers cas, le système est instable puisque la solution diverge. Nous pouvions le prévoir
sans calcul car les coefficients de l’équation sans second membre ne sont pas tous de même signe. Dans
les autres cas le système est stable.
Exercice 7.2
1. Nous visualisons a priori un régime pseudo-périodique amorti et quatre régimes apériodiques amortis.
2. L’équation différentielle du mouvement se met sous la forme ¨
Z +
ω0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec Q =
√
km
h
.
3. Nous obtenons : Qa = 1,0 ; Q b = 0,50 ; Qc = 0,21 ; Q d = 0,15 et Qe = 0,075. La valeur de Q b est
remarquable puisqu’elle correspond au régime critique. Ce dernier est le régime apériodique dont le
retour vers la position d’équilibre se fait le plus rapidement.
4. Le régime critique (Q b = 0,50) correspond à la courbe 1, le régime pseudo-périodique (Qa > Q b ) à la
courbe 3. Les autres régimes sont apériodiques. Pour ces régimes le retour à l’équilibre est d’autant
plus lent que le coefficient de frottement h est grand et donc que Q est faible. Les courbes 2, 4 et 5
correspondent donc respectivement aux facteurs de qualités Qe, Q d et Qc.
Exercice 7.3
1. Lorsque ˙
x est positive, alors x(t) évolue dans le sens croissant. On en déduit que les 6 portraits de
phase proposés sont décrits dans le sens horaire. Les portraits de phase 1 et 2 sont donc des intrus
puisqu’ils correspondent, dans le sens horaire, à des oscillations amplifiées et non amorties.
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Exercice 7.1
1. Les équations ont respectivement pour solutions :
• Équation (1) : 1,0¨ x − 2,0 ˙
x + 5,0x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 − 2,0r + 5,0. Discriminant :
Δ = −16. Solutions de l’équation caractéristique : r1,2 = 1,0 ± 2,0i.
Solution générale de l’équation différentielle : x1(t) = exp(1,0t) (K1 cos(2,0t) + K2 sin(2,0t)).
C.I. ⇒ K1 = 1,0 et K2 = −0,5. D’où : x1(t) = exp(1,0t) (1,0 cos(2,0t) − 0,50 sin(2,0t)) m.
• Équation (2) : 1,0¨ x+0,30 ˙
x−6,0x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 +0,30r−6,0. Discriminant :
Δ = 24. Solutions de l’équation caractéristique : r1 = −2,6 et r2 = 2,3.
Solution générale de l’équation différentielle : x2(t) = K1 exp(−2,6t) + K2 exp(2,3t).
C.I. ⇒ K1 = 0,47 et K2 = 0,53. D’où : x2(t) = (0,47 exp(−2,6t) + 0,53 exp(2,3t)) m.
• Équation (3) : 1,0¨ x +0,10 ˙
x +25x = 0. Équation caractéristique : 1,0r
2 +0,10r + 25. Discriminant :
Δ = −1,0.10
2 . Solutions de l’équation caractéristique : r1,2 = −5,0.10
−2 ± 5,0i. Solution générale
de l’équation différentielle : x3(t) = exp(−5,0.10
−2 t) (K1 cos(5,0t) + K2 sin(5,0t)). C.I. ⇒ K1 = 1,0
et K2 = 1,0.10
−2 . D’où : x3(t) = exp(−5,0.10
−2 t)
1,0 cos(5,0t) + 1,0.10
−2 sin(5,0t)
m.
• Équation (4) : 2,0¨ x + 10 ˙
x + 1,0x = 0. Équation caractéristique : 2,0r
2 + 10r + 1,0. Discriminant :
Δ = 92. Solutions de l’équation caractéristique : r1 = −4,9 et r2 = −0,10.
Solution générale de l’équation différentielle : x4(t) = K1 exp(−4,9t) + K2 exp(−0,10t).
C.I. ⇒ K1 = −2,1.10
−2 et K2 = 1,0 ⇒ x4(t) =
−2,1.10
−2 exp(−4,9t) + 1,0 exp(−0,10t)
m.
• Équation (5) : 1,0¨ x + 0,10 ˙
x + 25x = 8,0. La solution générale de cette équation avec second
membre constant est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre, qui n’est
autre que l’équation (3), et de la solution particulière constante xp =
8,0
25
= 0,32 de l’équation avec
second membre. D’où : x5(t) = 0,32 + exp(−5,0.10
−2 t) (K1 cos(5,0t) + K2 sin(5,0t)).
Les conditions initiales, utilisées sur la solution complète et non sur la solution de l’équation homogène, nous donnent : K1 = 0,68 et K2 = 0,68.10
−2 .
D’où : x5(t) =
0,32 + exp(−5,0.10
−2 t)
0,68 cos(5,0t) + 0,68.10
−2 sin(5,0t)
m.
Les valeurs des xi(t) obtenues sont exprimées en mètre.
2. Dans les deux premiers cas, le système est instable puisque la solution diverge. Nous pouvions le prévoir
sans calcul car les coefficients de l’équation sans second membre ne sont pas tous de même signe. Dans
les autres cas le système est stable.
Exercice 7.2
1. Nous visualisons a priori un régime pseudo-périodique amorti et quatre régimes apériodiques amortis.
2. L’équation différentielle du mouvement se met sous la forme ¨
Z +
ω0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec Q =
√
km
h
.
3. Nous obtenons : Qa = 1,0 ; Q b = 0,50 ; Qc = 0,21 ; Q d = 0,15 et Qe = 0,075. La valeur de Q b est
remarquable puisqu’elle correspond au régime critique. Ce dernier est le régime apériodique dont le
retour vers la position d’équilibre se fait le plus rapidement.
4. Le régime critique (Q b = 0,50) correspond à la courbe 1, le régime pseudo-périodique (Qa > Q b ) à la
courbe 3. Les autres régimes sont apériodiques. Pour ces régimes le retour à l’équilibre est d’autant
plus lent que le coefficient de frottement h est grand et donc que Q est faible. Les courbes 2, 4 et 5
correspondent donc respectivement aux facteurs de qualités Qe, Q d et Qc.
Exercice 7.3
1. Lorsque ˙
x est positive, alors x(t) évolue dans le sens croissant. On en déduit que les 6 portraits de
phase proposés sont décrits dans le sens horaire. Les portraits de phase 1 et 2 sont donc des intrus
puisqu’ils correspondent, dans le sens horaire, à des oscillations amplifiées et non amorties.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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