186 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
Corrections
Interro de cours
1. L’équation d’un oscillateur harmonique non amorti est de la forme :
d
2 Z
dt 2 + ω
2
0 Z = C, où C est une
constante, quelle que soit la grandeur Z(t), le terme positif ω
2
0 et la constante C. Les oscillations sont
d’amplitude constante, ce qui traduit la conservation de l’énergie. Réponses (d) et (e).
2. L’équation d’un oscillateur harmonique amorti est de la forme :
d
2 Z
dt 2 +
ω0
Q
dZ
dt
+ ω
2
0 Z = C où C est
une constante, quelle que soit la grandeur Z(t), le terme positif ω
2
0 et la constante C . Réponses (a),
(c) et (f). S’il y a des oscillations, leur amplitude diminue, ce qui traduit une dissipation d’énergie.
3. Les équations traduisant des oscillations électriques amorties sont les équations n°1 et n°3. Par comparaison avec l’équation canonique rappelée dans la question précédente, on trouve ω
2
0 =
1
LC
donc
ω0 =
1
√
LC
. Attention, il faut veiller à travailler avec une équation où le coefficient devant la dérivée
seconde est 1 avant d’identifier l’expression de ω
2
0 . Réponse (b).
4. De manière analogue, on trouve
ω0
Q
=
R
L
donc Q =
1
R
L
C
. Réponse (c).
5. L’expression de la pseudo-pulsation correspond à la valeur absolue de la partie imaginaire des racines
de l’équation caractéristique r
2 +
ω0
Q
r + ω
2
0 = 0. On obtient : ω = ω0
1 −
1
4Q 2 < ω0. Il ne faut
pas confondre la pulsation propre (pulsation en absence de phénomènes dissipatifs d’énergie) et la
pseudo-pulsation. Réponse (c).
6. L’absence d’oscillations suppose un régime apériodique ou critique soit Q =
1
R
L
C
≤
1
2
. On a donc
R ≥ 2
L
C
= 400 Ω. Réponse (a).
7. On pourrait s’attendre à ce qu’en absence de conducteur ohmique, les oscillations soient d’amplitude
constante. Cependant il existe toujours la résistance interne de la bobine ainsi que celle des fils. Il y
aura donc un amortissement qui toutefois sera faible compte tenu des valeurs de celles-ci. Réponse (b).
8. Puisque ω = ω0
1 −
1
4Q 2 , on a : Q =
1
2
1 −
ω
2
ω
2
0
=
1
2
1 −
f
2
f
2
0
11,3 avec f0 =
ω0
2π
=
1
2π
√
LC
.
Réponse (c). On peut aussi justifier cette réponse en remarquant que c’est la seule pour laquelle Q est
grand devant 0,5 (régime pseudo-périodique faiblement amorti).
9. Puisque Q =
1
r
L
C
, on a : r =
1
Q
L
C
17,7 Ω. Réponse (b).
10. La loi des nœuds s’écrit : iC + iR + iL = 0. Les relations courant-tension aux bornes des différents
éléments s’écrivent : iC =
dq
dt
= C
du
dt
, iR =
u
R
et u = L
diL
dt
. En dérivant l’équation traduisant la
loi des nœuds et en éliminant les différentes intensités, on obtient, après division par C, l’équation
différentielle : ¨
u +
1
RC
˙
u +
1
LC
u = 0. On en déduit ω0 =
1
√
LC
et Q = R
C
L
. Réponse (d).
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Oscillateurs amortis
Corrections
Interro de cours
1. L’équation d’un oscillateur harmonique non amorti est de la forme :
d
2 Z
dt 2 + ω
2
0 Z = C, où C est une
constante, quelle que soit la grandeur Z(t), le terme positif ω
2
0 et la constante C. Les oscillations sont
d’amplitude constante, ce qui traduit la conservation de l’énergie. Réponses (d) et (e).
2. L’équation d’un oscillateur harmonique amorti est de la forme :
d
2 Z
dt 2 +
ω0
Q
dZ
dt
+ ω
2
0 Z = C où C est
une constante, quelle que soit la grandeur Z(t), le terme positif ω
2
0 et la constante C . Réponses (a),
(c) et (f). S’il y a des oscillations, leur amplitude diminue, ce qui traduit une dissipation d’énergie.
3. Les équations traduisant des oscillations électriques amorties sont les équations n°1 et n°3. Par comparaison avec l’équation canonique rappelée dans la question précédente, on trouve ω
2
0 =
1
LC
donc
ω0 =
1
√
LC
. Attention, il faut veiller à travailler avec une équation où le coefficient devant la dérivée
seconde est 1 avant d’identifier l’expression de ω
2
0 . Réponse (b).
4. De manière analogue, on trouve
ω0
Q
=
R
L
donc Q =
1
R
L
C
. Réponse (c).
5. L’expression de la pseudo-pulsation correspond à la valeur absolue de la partie imaginaire des racines
de l’équation caractéristique r
2 +
ω0
Q
r + ω
2
0 = 0. On obtient : ω = ω0
1 −
1
4Q 2 < ω0. Il ne faut
pas confondre la pulsation propre (pulsation en absence de phénomènes dissipatifs d’énergie) et la
pseudo-pulsation. Réponse (c).
6. L’absence d’oscillations suppose un régime apériodique ou critique soit Q =
1
R
L
C
≤
1
2
. On a donc
R ≥ 2
L
C
= 400 Ω. Réponse (a).
7. On pourrait s’attendre à ce qu’en absence de conducteur ohmique, les oscillations soient d’amplitude
constante. Cependant il existe toujours la résistance interne de la bobine ainsi que celle des fils. Il y
aura donc un amortissement qui toutefois sera faible compte tenu des valeurs de celles-ci. Réponse (b).
8. Puisque ω = ω0
1 −
1
4Q 2 , on a : Q =
1
2
1 −
ω
2
ω
2
0
=
1
2
1 −
f
2
f
2
0
11,3 avec f0 =
ω0
2π
=
1
2π
√
LC
.
Réponse (c). On peut aussi justifier cette réponse en remarquant que c’est la seule pour laquelle Q est
grand devant 0,5 (régime pseudo-périodique faiblement amorti).
9. Puisque Q =
1
r
L
C
, on a : r =
1
Q
L
C
17,7 Ω. Réponse (b).
10. La loi des nœuds s’écrit : iC + iR + iL = 0. Les relations courant-tension aux bornes des différents
éléments s’écrivent : iC =
dq
dt
= C
du
dt
, iR =
u
R
et u = L
diL
dt
. En dérivant l’équation traduisant la
loi des nœuds et en éliminant les différentes intensités, on obtient, après division par C, l’équation
différentielle : ¨
u +
1
RC
˙
u +
1
LC
u = 0. On en déduit ω0 =
1
√
LC
et Q = R
C
L
. Réponse (d).
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