Exercices 185
Il choisit de prendre R = 1,0 · 10
4 Ω et C = 1,0 μF.
Le condensateur ayant été préalablement chargé
avec une charge q 0 = 1,0 · 10
−6 C, on ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0.
1. Proposez un dispositif expérimental permettant
de charger ce condensateur.
2. Montrer que la tension u(t) vérifie l’équation différentielle suivante :
d
2 u
dt 2 +
ω 0
Q
du
dt
+ ω
2
0 u(t) = 0.
Exprimer ω 0 et Q en fonction de R, r, L et C.
3. Identifier les conditions initiales u(0) et i(0).
4. À partir du graphe ci-contre qui montre l’évolution temporelle de u(t), estimer les valeurs de la
pseudo-période T et du décrément logarithmique
δ = ln
u(t)
u(t + T )
.
5. Quelle relation relie δ au facteur de qualité Q ?
On pourra exprimer la pseudo-période en fonction de ω 0 et Q.
6. En déduire les valeurs expérimentales de ω 0 et Q,
puis celles de L et r. Commenter.
R
K
C
r
i
L
u(t)
q(t)
0
2
4
6
8
10
t (ms)
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
u(t)
Exercice 7.9 À propos des analogies électromécaniques
Un solide M , de masse m, peut se déplacer sur une tige
horizontale parallèle à l’axe Ox entre deux parois verticales
fixes, situées en x = 0 et x = L, au sein d’un fluide visqueux qui exerce sur lui la force de frottement
#»
f = −h #» v ,
avec #» v vitesse de M dans le référentiel galiléen R. Les frottements entre M et l’axe horizontal sont négligeables.
k 1 ; l 10
k 2 ; l 20
M
x(t)
0
L
x
M est relié aux parois par l’intermédiaire de deux ressorts de raideurs k 1 et k 2 , de longueurs à vide
l 10 et l 20 . On supposera que L = l 10 + l 20 . On repère M par son abscisse x(t).
1. Identifier les différentes forces s’exerçant sur M .
2. Déterminer la position d’équilibre x eq de M .
3. On écarte M de sa position d’équilibre de la quantité a > 0 et on le lâche sans vitesse initiale.
On pose X(t) = x(t) − x eq . Déterminer l’équation différentielle satisfaite par X(t).
4. Identifier les grandeurs électriques analogues aux grandeurs mécaniques k 1 , k 2 , M , h, X, ˙
X et
a. Dessiner le schéma électrique équivalent à cette situation mécanique. Préciser les conditions
initiales et l’opération effectuée à t = 0.
5. La situation électrique serait-elle identique si on lâchait M en X(0) = 0 avec une vitesse initiale
˙
X(0) = v 0 > 0 ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Il choisit de prendre R = 1,0 · 10
4 Ω et C = 1,0 μF.
Le condensateur ayant été préalablement chargé
avec une charge q 0 = 1,0 · 10
−6 C, on ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0.
1. Proposez un dispositif expérimental permettant
de charger ce condensateur.
2. Montrer que la tension u(t) vérifie l’équation différentielle suivante :
d
2 u
dt 2 +
ω 0
Q
du
dt
+ ω
2
0 u(t) = 0.
Exprimer ω 0 et Q en fonction de R, r, L et C.
3. Identifier les conditions initiales u(0) et i(0).
4. À partir du graphe ci-contre qui montre l’évolution temporelle de u(t), estimer les valeurs de la
pseudo-période T et du décrément logarithmique
δ = ln
u(t)
u(t + T )
.
5. Quelle relation relie δ au facteur de qualité Q ?
On pourra exprimer la pseudo-période en fonction de ω 0 et Q.
6. En déduire les valeurs expérimentales de ω 0 et Q,
puis celles de L et r. Commenter.
R
K
C
r
i
L
u(t)
q(t)
0
2
4
6
8
10
t (ms)
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
u(t)
Exercice 7.9 À propos des analogies électromécaniques
Un solide M , de masse m, peut se déplacer sur une tige
horizontale parallèle à l’axe Ox entre deux parois verticales
fixes, situées en x = 0 et x = L, au sein d’un fluide visqueux qui exerce sur lui la force de frottement
#»
f = −h #» v ,
avec #» v vitesse de M dans le référentiel galiléen R. Les frottements entre M et l’axe horizontal sont négligeables.
k 1 ; l 10
k 2 ; l 20
M
x(t)
0
L
x
M est relié aux parois par l’intermédiaire de deux ressorts de raideurs k 1 et k 2 , de longueurs à vide
l 10 et l 20 . On supposera que L = l 10 + l 20 . On repère M par son abscisse x(t).
1. Identifier les différentes forces s’exerçant sur M .
2. Déterminer la position d’équilibre x eq de M .
3. On écarte M de sa position d’équilibre de la quantité a > 0 et on le lâche sans vitesse initiale.
On pose X(t) = x(t) − x eq . Déterminer l’équation différentielle satisfaite par X(t).
4. Identifier les grandeurs électriques analogues aux grandeurs mécaniques k 1 , k 2 , M , h, X, ˙
X et
a. Dessiner le schéma électrique équivalent à cette situation mécanique. Préciser les conditions
initiales et l’opération effectuée à t = 0.
5. La situation électrique serait-elle identique si on lâchait M en X(0) = 0 avec une vitesse initiale
˙
X(0) = v 0 > 0 ?
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