184 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
Exercice 7.6 Lien entre équation du mouvement et énergie mécanique
On reprend le cadre de l’exercice «Dissipation énergétique par frottement fluide» (exercice 7.5).
L’équation du mouvement, dans le référentiel galiléen d’étude R, s’écrit : m¨ z +h ˙
z +k(z −l 0 ) = mg.
L’objectif est de faire le lien entre cette équation différentielle et la dissipation énergétique.
1. Rappeler la définition de la puissance d’une force
#»
F s’exerçant sur un point matériel M dans
le référentiel R. Dans le cas d’une force conservative, rappeler la relation entre sa puissance et
son énergie potentielle.
2. Exprimer les puissances associées à la force de frottement fluide, à la force de rappel du ressort
et au poids. Ces forces sont-elles conservatives ? Si oui, quelles sont les énergies potentielles
associées ?
3. Partant de l’équation du mouvement, comment faire apparaître les puissances ci-dessus ?
4. Montrer que le bilan de puissance s’écrit :
d(E c + E p )
dt
= P f où E c est l’énergie cinétique de
(S) dans R, E p son énergie potentielle et P f la puissance de la force de frottement.
5. Intégrer cette équation entre t = 0 et t → ∞. En déduire ce que devient l’énergie qu’on fournit
initialement à (S) en l’écartant de a de sa position d’équilibre et en l’abandonnant sans vitesse.
Exercice 7.7 Tonneaux de Whisky à la dérive
Barbe Noire est très mécontent : lors de l’abordage
d’un vaisseau écossais, les marins assiégés ont livrés
à la mer toute leur cargaison de tonneaux de whisky.
Il voit donc flotter loin de lui 4 tonneaux remplis
du breuvage tant convoité. Tous les tonneaux sont
identiques mais contiennent des volumes de whisky
différents. On assimile un tonneau à un cylindre de
hauteur H = 90 cm et de diamètre D = 70 cm. À
l’équilibre, chaque tonneau est immergé dans l’eau de
mer de masse volumique μ = 1,0 · 10
3 kg · m
−3 d’une
hauteur h comme indiqué sur la figure ci-contre.
On prendra g = 9,8 m · s
−2 .
h
H
D
Les hauteurs immergées sont h 1 = 20 cm, h 2 = 30 cm, h 3 = 50 cm et h 4 = 55 cm.
1. Relier, pour chaque tonneau, sa hauteur h i immergée à sa masse totale.
2. Heurtés par une baleine bleue, les tonneaux sont soulevés de a = 10 cm. Après le départ du
cétacé, ils se mettent à osciller dans un mouvement que nous supposerons uniquement vertical
et sont soumis à une force de frottement fluide
#»
F = −f #» v avec f = 10 kg · s
−1 .
Déterminer alors pour chaque tonneau la pseudo-période de ses oscillations et le temps caractérisant son retour à l’équilibre.
Exercice 7.8 Caractéristiques d’une bobine et régime transitoire
Afin de déterminer expérimentalement les caractéristiques d’une bobine réelle (inductance L et
résistance r), un étudiant propose à son professeur de réaliser le montage suivant.
partagelivrescpge.blogspot.com
Oscillateurs amortis
Exercice 7.6 Lien entre équation du mouvement et énergie mécanique
On reprend le cadre de l’exercice «Dissipation énergétique par frottement fluide» (exercice 7.5).
L’équation du mouvement, dans le référentiel galiléen d’étude R, s’écrit : m¨ z +h ˙
z +k(z −l 0 ) = mg.
L’objectif est de faire le lien entre cette équation différentielle et la dissipation énergétique.
1. Rappeler la définition de la puissance d’une force
#»
F s’exerçant sur un point matériel M dans
le référentiel R. Dans le cas d’une force conservative, rappeler la relation entre sa puissance et
son énergie potentielle.
2. Exprimer les puissances associées à la force de frottement fluide, à la force de rappel du ressort
et au poids. Ces forces sont-elles conservatives ? Si oui, quelles sont les énergies potentielles
associées ?
3. Partant de l’équation du mouvement, comment faire apparaître les puissances ci-dessus ?
4. Montrer que le bilan de puissance s’écrit :
d(E c + E p )
dt
= P f où E c est l’énergie cinétique de
(S) dans R, E p son énergie potentielle et P f la puissance de la force de frottement.
5. Intégrer cette équation entre t = 0 et t → ∞. En déduire ce que devient l’énergie qu’on fournit
initialement à (S) en l’écartant de a de sa position d’équilibre et en l’abandonnant sans vitesse.
Exercice 7.7 Tonneaux de Whisky à la dérive
Barbe Noire est très mécontent : lors de l’abordage
d’un vaisseau écossais, les marins assiégés ont livrés
à la mer toute leur cargaison de tonneaux de whisky.
Il voit donc flotter loin de lui 4 tonneaux remplis
du breuvage tant convoité. Tous les tonneaux sont
identiques mais contiennent des volumes de whisky
différents. On assimile un tonneau à un cylindre de
hauteur H = 90 cm et de diamètre D = 70 cm. À
l’équilibre, chaque tonneau est immergé dans l’eau de
mer de masse volumique μ = 1,0 · 10
3 kg · m
−3 d’une
hauteur h comme indiqué sur la figure ci-contre.
On prendra g = 9,8 m · s
−2 .
h
H
D
Les hauteurs immergées sont h 1 = 20 cm, h 2 = 30 cm, h 3 = 50 cm et h 4 = 55 cm.
1. Relier, pour chaque tonneau, sa hauteur h i immergée à sa masse totale.
2. Heurtés par une baleine bleue, les tonneaux sont soulevés de a = 10 cm. Après le départ du
cétacé, ils se mettent à osciller dans un mouvement que nous supposerons uniquement vertical
et sont soumis à une force de frottement fluide
#»
F = −f #» v avec f = 10 kg · s
−1 .
Déterminer alors pour chaque tonneau la pseudo-période de ses oscillations et le temps caractérisant son retour à l’équilibre.
Exercice 7.8 Caractéristiques d’une bobine et régime transitoire
Afin de déterminer expérimentalement les caractéristiques d’une bobine réelle (inductance L et
résistance r), un étudiant propose à son professeur de réaliser le montage suivant.
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