Exercices 183
Exercice 7.4 Mal des transports et suspension automobile
Le mal des transports a son origine dans des conflits sensoriels entre nos capteurs auditifs et visuels.
Dans le cas de mouvements oscillatoires verticaux, l’effet est le plus intense au voisinage de 0,20 Hz.
Dans le cadre d’une modélisation simple, on considère le dispositif de suspension d’une roue constitué d’un ressort, de raideur k et de longueur à vide l 0 ,
en parallèle avec un amortisseur de coefficient de frottement h. Lorsque la
voiture est animée, dans le référentiel de la route, considéré galiléen, d’une
vitesse verticale #» v z , l’amortisseur la soumet à une force de frottement fluide
#»
f = −h #» v z . La masse de la voiture étant M , on considère que le dispositif de
suspension d’une roue supporte une masse m = M/4. On néglige les masses
des roues et de leurs systèmes de suspension devant celle de la voiture. On
prend M = 1,3 · 10
3 kg et k = 1,5 · 10
4 N · m
−1 .
h
k,l 0
m
1. On réalise un essai dynamique à vide, au cours duquel le châssis est abaissé d’une hauteur a et
libéré sans vitesse initiale. Quelle valeur de h choisir pour que le retour à l’équilibre se fasse le
plus rapidement possible et sans oscillations ? Faire l’application numérique.
2. L’usure des amortisseurs est responsable d’une diminution du coefficient de frottement d’un
sixième de sa valeur initiale. Qu’en résulte-t-il pour le confort des passagers ?
Exercice 7.5 Dissipation énergétique par frottement fluide
Un corps (S), de masse m = 50 g, est suspendu à un point fixe O par l’intermédiaire d’un ressort vertical de raideur k = 20 N · m
−1 et de longueur à
vide l 0 = 20 cm. Lorsqu’il est animé d’une vitesse #» v , (S) est soumis de la part
de l’air à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v .
La position de (S) est repérée par la coordonnée z(t) de son centre d’inertie M
sur un axe vertical descendant Oz. On note z eq la cote de M à l’équilibre.
On lâche (S) à t = 0 avec une vitesse nulle dans la position z 0 = z eq + a > z eq .
Le référentiel R lié au sol est supposé galiléen.
•
O
M
z
z(t)
0
En introduisant la variable Z(t) = z(t)−z eq , on peut montrer que Z vérifie l’équation différentielle :
¨
Z +
ω 0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec ω 0 la pulsation propre de l’oscillateur et Q son facteur de qualité.
On s’intéresse aux aspects énergétiques de ce mouvement. On se place dans l’hypothèse Q 1.
1. Déterminer les expressions de Z(t) et de ˙
Z(t) dans le cadre de cette hypothèse, en fonction de
Q, ω 0 et a.
2. Donner l’expression approchée de l’énergie mécanique de (S) en fonction du temps.
3. Quel est le signe de la dérivée temporelle de E(t) ? Commenter le résultat.
4. Donner une expression approchée de la variation relative
ΔE
E
=
E(t + T ) − E(t)
E(t)
de E(t)
pendant une période. En déduire une interprétation énergétique du facteur de qualité Q.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Exercice 7.4 Mal des transports et suspension automobile
Le mal des transports a son origine dans des conflits sensoriels entre nos capteurs auditifs et visuels.
Dans le cas de mouvements oscillatoires verticaux, l’effet est le plus intense au voisinage de 0,20 Hz.
Dans le cadre d’une modélisation simple, on considère le dispositif de suspension d’une roue constitué d’un ressort, de raideur k et de longueur à vide l 0 ,
en parallèle avec un amortisseur de coefficient de frottement h. Lorsque la
voiture est animée, dans le référentiel de la route, considéré galiléen, d’une
vitesse verticale #» v z , l’amortisseur la soumet à une force de frottement fluide
#»
f = −h #» v z . La masse de la voiture étant M , on considère que le dispositif de
suspension d’une roue supporte une masse m = M/4. On néglige les masses
des roues et de leurs systèmes de suspension devant celle de la voiture. On
prend M = 1,3 · 10
3 kg et k = 1,5 · 10
4 N · m
−1 .
h
k,l 0
m
1. On réalise un essai dynamique à vide, au cours duquel le châssis est abaissé d’une hauteur a et
libéré sans vitesse initiale. Quelle valeur de h choisir pour que le retour à l’équilibre se fasse le
plus rapidement possible et sans oscillations ? Faire l’application numérique.
2. L’usure des amortisseurs est responsable d’une diminution du coefficient de frottement d’un
sixième de sa valeur initiale. Qu’en résulte-t-il pour le confort des passagers ?
Exercice 7.5 Dissipation énergétique par frottement fluide
Un corps (S), de masse m = 50 g, est suspendu à un point fixe O par l’intermédiaire d’un ressort vertical de raideur k = 20 N · m
−1 et de longueur à
vide l 0 = 20 cm. Lorsqu’il est animé d’une vitesse #» v , (S) est soumis de la part
de l’air à une force de frottement fluide
#»
F = −h #» v .
La position de (S) est repérée par la coordonnée z(t) de son centre d’inertie M
sur un axe vertical descendant Oz. On note z eq la cote de M à l’équilibre.
On lâche (S) à t = 0 avec une vitesse nulle dans la position z 0 = z eq + a > z eq .
Le référentiel R lié au sol est supposé galiléen.
•
O
M
z
z(t)
0
En introduisant la variable Z(t) = z(t)−z eq , on peut montrer que Z vérifie l’équation différentielle :
¨
Z +
ω 0
Q
˙
Z + ω
2
0 Z = 0 avec ω 0 la pulsation propre de l’oscillateur et Q son facteur de qualité.
On s’intéresse aux aspects énergétiques de ce mouvement. On se place dans l’hypothèse Q 1.
1. Déterminer les expressions de Z(t) et de ˙
Z(t) dans le cadre de cette hypothèse, en fonction de
Q, ω 0 et a.
2. Donner l’expression approchée de l’énergie mécanique de (S) en fonction du temps.
3. Quel est le signe de la dérivée temporelle de E(t) ? Commenter le résultat.
4. Donner une expression approchée de la variation relative
ΔE
E
=
E(t + T ) − E(t)
E(t)
de E(t)
pendant une période. En déduire une interprétation énergétique du facteur de qualité Q.
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