176 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
En électricité, une bobine et un condensateur peuvent également stocker de l’énergie mais une
résistance ne peut qu’en dissiper. La partie suivante propose de faire le parallèle avec la situation
mécanique qui vient d’être étudiée pour mettre en évidence une analogie électro-mécanique.
4 Oscillateur électrique amorti
Afin de mettre en évidence des oscillations amorties en électricité nous réalisons le montage suivant :
E
R
r
L
i
C
K
2
1
u C (t)
u E (t)
Le circuit RLC série est composé d’une bobine d’inductance L = 11,3 mH et de résistance interne
r = 2,8 Ω, d’un condensateur de capacité C = 0,99 μF et d’une résistance variable R
. La résistance
totale est donc R = R
+ r. La résistance R
permet de modifier le terme de dissipation d’énergie.
L’interrupteur K est maintenu dans la position (1) assez longtemps pour que l’alimentation stabilisée qui délivre une tension E = 5,0 V charge le condensateur. À t = 0, l’interrupteur est basculé
dans la position (2) afin d’annuler la tension u E appliquée au circuit RLC série. Pour éviter les
rebonds causés par les interrupteurs mécaniques, nous avons en réalité utilisé un interrupteur
électronique.
Peut-on trouver une équation différentielle similaire à l’équation 7.2 ?
On applique la loi des mailles au circuit ci-dessus pour t > 0 :
(7.3)
Ri + L
di
dt
+ u C = 0
En utilisant la relation courant-tension dans un condensateur en convention récepteur : i = C
du C
dt
,
on obtient, après avoir divisé par LC, l’équation :
(7.4)
d
2 u C
dt 2 +
R
L
du C
dt
+
1
LC
u C = 0
En posant ω 0 =
1
√
LC
et Q =
Lω 0
R
=
1
R
L
C
, cette équation se met sous la forme :
(7.5)
¨
u C +
ω 0
Q
˙
u C + ω
2
0 u C = 0
Cette équation 7.5 est formellement identique à l’équation 7.2.
Quels régimes de variations peut-on observer ?
Les équations différentielles étant identiques, on observe les mêmes régimes :
• Pour Q >
1
2
, c’est-à-dire R < R c avec R c = 2
L
C
, un régime pseudo-périodique
correspondant à de faibles dissipations d’énergie.
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Oscillateurs amortis
En électricité, une bobine et un condensateur peuvent également stocker de l’énergie mais une
résistance ne peut qu’en dissiper. La partie suivante propose de faire le parallèle avec la situation
mécanique qui vient d’être étudiée pour mettre en évidence une analogie électro-mécanique.
4 Oscillateur électrique amorti
Afin de mettre en évidence des oscillations amorties en électricité nous réalisons le montage suivant :
E
R
r
L
i
C
K
2
1
u C (t)
u E (t)
Le circuit RLC série est composé d’une bobine d’inductance L = 11,3 mH et de résistance interne
r = 2,8 Ω, d’un condensateur de capacité C = 0,99 μF et d’une résistance variable R
. La résistance
totale est donc R = R
+ r. La résistance R
permet de modifier le terme de dissipation d’énergie.
L’interrupteur K est maintenu dans la position (1) assez longtemps pour que l’alimentation stabilisée qui délivre une tension E = 5,0 V charge le condensateur. À t = 0, l’interrupteur est basculé
dans la position (2) afin d’annuler la tension u E appliquée au circuit RLC série. Pour éviter les
rebonds causés par les interrupteurs mécaniques, nous avons en réalité utilisé un interrupteur
électronique.
Peut-on trouver une équation différentielle similaire à l’équation 7.2 ?
On applique la loi des mailles au circuit ci-dessus pour t > 0 :
(7.3)
Ri + L
di
dt
+ u C = 0
En utilisant la relation courant-tension dans un condensateur en convention récepteur : i = C
du C
dt
,
on obtient, après avoir divisé par LC, l’équation :
(7.4)
d
2 u C
dt 2 +
R
L
du C
dt
+
1
LC
u C = 0
En posant ω 0 =
1
√
LC
et Q =
Lω 0
R
=
1
R
L
C
, cette équation se met sous la forme :
(7.5)
¨
u C +
ω 0
Q
˙
u C + ω
2
0 u C = 0
Cette équation 7.5 est formellement identique à l’équation 7.2.
Quels régimes de variations peut-on observer ?
Les équations différentielles étant identiques, on observe les mêmes régimes :
• Pour Q >
1
2
, c’est-à-dire R < R c avec R c = 2
L
C
, un régime pseudo-périodique
correspondant à de faibles dissipations d’énergie.
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