174 Chapitre 7
Oscillateurs amortis
Les constantes d’intégration K 1 et K 2 sont déterminées par les conditions initiales z(0)
et ˙
z(0) écrites pour la solution générale z(t) = z g (t)+z p de l’équation complète.
Comment évolue la solution en fonction de l’amortissement de l’oscillateur ?
L’équation caractéristique associée à l’équation différentielle du mouvement (équation 7.2) est :
r
2 +
ω 0
Q
r + ω
2
0 = 0. Son discriminant a pour expression : Δ = 4ω
2
0 (
1
4Q 2 − 1). Il dépend du
coefficient d’amortissement α au travers du facteur de qualité Q =
√
km/α. Lorsque la valeur du
coefficient d’amortissement augmente, le facteur de qualité diminue.
On distingue, en fonction de la valeur de Q, trois types de régimes.
• Cas Q >
1
2
/ Discriminant négatif / Régime pseudo-périodique
z(t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 cos(ωt) + K 2 sin(ωt)) avec ω = ω 0
1 −
1
4Q 2
ω est appelé pseudo-pulsation et est inférieure à ω 0 . Remarquons de plus que ω tend vers
ω 0 lorsque Q tend vers l’infini. On définit également la pseudo-période T =
2π
ω
.
On constate un retour à l’équilibre avec des oscillations dont l’amplitude diminue de manière
exponentielle (figure 7.2 dans le cas de l’eau).
• Cas Q <
1
2
/ Discriminant positif / Régime apériodique
z(t) = K 1 exp(r 1 t) + K 2 exp(r 2 t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 exp(β 1 t) + K 2 exp(β 2 t))
Avec r 1,2 = −
ω 0
2Q
± ω 0
1
4Q 2 − 1 et β 1,2 = ±ω 0
1
4Q 2 − 1
On constate un retour direct à l’équilibre sans oscillations (figure 7.2 dans le cas de la
glycérine).
• Cas Q =
1
2
/ Discriminant nul / Régime critique
z(t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 + K 2 t)
C’est le régime théorique limite entre les deux régimes précédents.
Durée du régime transitoire et facteur de qualité en régime pseudo-périodique ?
Dans le cas du régime pseudo-périodique, le retour à l’équilibre se fait en oscillant. La solution
z(t) comporte un facteur exp
−
ω 0
2Q
t
= exp
−
t
τ
avec τ =
2Q
ω 0
. Comme nous l’avons vu au
chapitre 6, τ représente l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
La durée du régime transitoire augmente lorsque le facteur de qualité augmente. La
durée du régime transitoire la plus courte correspond au régime critique.
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Oscillateurs amortis
Les constantes d’intégration K 1 et K 2 sont déterminées par les conditions initiales z(0)
et ˙
z(0) écrites pour la solution générale z(t) = z g (t)+z p de l’équation complète.
Comment évolue la solution en fonction de l’amortissement de l’oscillateur ?
L’équation caractéristique associée à l’équation différentielle du mouvement (équation 7.2) est :
r
2 +
ω 0
Q
r + ω
2
0 = 0. Son discriminant a pour expression : Δ = 4ω
2
0 (
1
4Q 2 − 1). Il dépend du
coefficient d’amortissement α au travers du facteur de qualité Q =
√
km/α. Lorsque la valeur du
coefficient d’amortissement augmente, le facteur de qualité diminue.
On distingue, en fonction de la valeur de Q, trois types de régimes.
• Cas Q >
1
2
/ Discriminant négatif / Régime pseudo-périodique
z(t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 cos(ωt) + K 2 sin(ωt)) avec ω = ω 0
1 −
1
4Q 2
ω est appelé pseudo-pulsation et est inférieure à ω 0 . Remarquons de plus que ω tend vers
ω 0 lorsque Q tend vers l’infini. On définit également la pseudo-période T =
2π
ω
.
On constate un retour à l’équilibre avec des oscillations dont l’amplitude diminue de manière
exponentielle (figure 7.2 dans le cas de l’eau).
• Cas Q <
1
2
/ Discriminant positif / Régime apériodique
z(t) = K 1 exp(r 1 t) + K 2 exp(r 2 t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 exp(β 1 t) + K 2 exp(β 2 t))
Avec r 1,2 = −
ω 0
2Q
± ω 0
1
4Q 2 − 1 et β 1,2 = ±ω 0
1
4Q 2 − 1
On constate un retour direct à l’équilibre sans oscillations (figure 7.2 dans le cas de la
glycérine).
• Cas Q =
1
2
/ Discriminant nul / Régime critique
z(t) = exp
−
ω 0
2Q
t
(K 1 + K 2 t)
C’est le régime théorique limite entre les deux régimes précédents.
Durée du régime transitoire et facteur de qualité en régime pseudo-périodique ?
Dans le cas du régime pseudo-périodique, le retour à l’équilibre se fait en oscillant. La solution
z(t) comporte un facteur exp
−
ω 0
2Q
t
= exp
−
t
τ
avec τ =
2Q
ω 0
. Comme nous l’avons vu au
chapitre 6, τ représente l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
La durée du régime transitoire augmente lorsque le facteur de qualité augmente. La
durée du régime transitoire la plus courte correspond au régime critique.
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