L’essentiel du cours 173
Le fluide intervient-il sur la position d’équilibre du système ?
À l’équilibre, #» v =
#»
0 donc
#»
f =
#»
0 . La loi de la quantité de mouvement conduit à :
#»
P +
#»
Π +
#»
T =
#»
0 .
Nous obtenons en projection sur #» u z : mg − ρV g − k( eq − 0 ) = 0, d’où : eq = 0 +
mg
k
−
ρV g
k
.
Nous en déduisons que la poussée d’Archimède, qui n’intervient pas dans l’amortissement des
oscillations, modifie en revanche la position d’équilibre. Plus le fluide est dense, plus la position
d’équilibre est « haute » (figure 7.2) : la glycérine est donc plus dense que l’eau.
Quelle est l’équation différentielle du mouvement ?
La loi de la quantité de mouvement appliquée au système conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
Π +
#»
T +
#»
f , soit en
projection sur #» u z : m¨ z = mg − ρV g − k( − 0 ) − α ˙
z. Comme nous nous intéressons au mouvement
par rapport à la position d’équilibre, nous posons z = − eq . En remplaçant par z + eq et en
tenant compte de l’expression de eq , nous obtenons alors après simplification l’équation suivante :
(7.1)
¨
z +
α
m
˙
z +
k
m
z = 0
Comme dans le chapitre 1, posons ω 0 =
k
m
. Introduisons en outre un facteur sans dimension Q,
appelé facteur de qualité, défini par Q =
√
km
α
. L’équation devient :
(7.2)
¨
z +
ω 0
Q
˙
z + ω
2
0 z = 0
Une interprétation énergétique de ce facteur de qualité est donnée à l’exercice 7.5.
3 Résolution de l’équation différentielle : régimes de variation
L’équation 7.2 est une équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants du
type a¨ z + b ˙
z + cz = d où a, b, c et d sont des constantes réelles. On doit la résoudre dans R.
• La solution générale de cette équation est la somme de la solution générale z g (t) de
l’équation sans second membre (d = 0) et de la solution particulière constante z p de
l’équation complète. Cette dernière, définie par
dz p
dt
= 0, a pour expression z p = d/c.
• On cherche les solutions de l’équation différentielle sans second membre (d = 0) de la
forme z(t) = K exp(rt) où r ∈ C. Pour cela on reporte cette forme dans l’équation sans
second membre. En simplifiant par K exp(rt), on obtient l’équation caractéristique :
ar
2 + br + c = 0.
• En fonction de la valeur du discriminant de cette équation (Δ = b
2
− 4ac), les solutions
à valeurs réelles de l’équation différentielle sans second membre sont de la forme :
— Si Δ > 0 : z g (t) = K 1 exp(r 1 t) + K 2 exp(r 2 t) avec r 1,2 = (−b ±
√
Δ)/2a.
— Si Δ = 0 : z g (t) = (K 1 + K 2 t) exp(rt) avec r = −b/2a.
— Si Δ < 0 : z g (t) = exp(−
t
τ
)(K 1 cos(ωt) + K 2 sin(ωt)) avec τ = 2a/b, ω =
√ −Δ/2a.
Méthode 7.1 : Résolution de l’équation différentielle a¨ z + b ˙
z + cz = d
Exercice (7.1)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Le fluide intervient-il sur la position d’équilibre du système ?
À l’équilibre, #» v =
#»
0 donc
#»
f =
#»
0 . La loi de la quantité de mouvement conduit à :
#»
P +
#»
Π +
#»
T =
#»
0 .
Nous obtenons en projection sur #» u z : mg − ρV g − k( eq − 0 ) = 0, d’où : eq = 0 +
mg
k
−
ρV g
k
.
Nous en déduisons que la poussée d’Archimède, qui n’intervient pas dans l’amortissement des
oscillations, modifie en revanche la position d’équilibre. Plus le fluide est dense, plus la position
d’équilibre est « haute » (figure 7.2) : la glycérine est donc plus dense que l’eau.
Quelle est l’équation différentielle du mouvement ?
La loi de la quantité de mouvement appliquée au système conduit à : m #» a =
#»
P +
#»
Π +
#»
T +
#»
f , soit en
projection sur #» u z : m¨ z = mg − ρV g − k( − 0 ) − α ˙
z. Comme nous nous intéressons au mouvement
par rapport à la position d’équilibre, nous posons z = − eq . En remplaçant par z + eq et en
tenant compte de l’expression de eq , nous obtenons alors après simplification l’équation suivante :
(7.1)
¨
z +
α
m
˙
z +
k
m
z = 0
Comme dans le chapitre 1, posons ω 0 =
k
m
. Introduisons en outre un facteur sans dimension Q,
appelé facteur de qualité, défini par Q =
√
km
α
. L’équation devient :
(7.2)
¨
z +
ω 0
Q
˙
z + ω
2
0 z = 0
Une interprétation énergétique de ce facteur de qualité est donnée à l’exercice 7.5.
3 Résolution de l’équation différentielle : régimes de variation
L’équation 7.2 est une équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants du
type a¨ z + b ˙
z + cz = d où a, b, c et d sont des constantes réelles. On doit la résoudre dans R.
• La solution générale de cette équation est la somme de la solution générale z g (t) de
l’équation sans second membre (d = 0) et de la solution particulière constante z p de
l’équation complète. Cette dernière, définie par
dz p
dt
= 0, a pour expression z p = d/c.
• On cherche les solutions de l’équation différentielle sans second membre (d = 0) de la
forme z(t) = K exp(rt) où r ∈ C. Pour cela on reporte cette forme dans l’équation sans
second membre. En simplifiant par K exp(rt), on obtient l’équation caractéristique :
ar
2 + br + c = 0.
• En fonction de la valeur du discriminant de cette équation (Δ = b
2
− 4ac), les solutions
à valeurs réelles de l’équation différentielle sans second membre sont de la forme :
— Si Δ > 0 : z g (t) = K 1 exp(r 1 t) + K 2 exp(r 2 t) avec r 1,2 = (−b ±
√
Δ)/2a.
— Si Δ = 0 : z g (t) = (K 1 + K 2 t) exp(rt) avec r = −b/2a.
— Si Δ < 0 : z g (t) = exp(−
t
τ
)(K 1 cos(ωt) + K 2 sin(ωt)) avec τ = 2a/b, ω =
√ −Δ/2a.
Méthode 7.1 : Résolution de l’équation différentielle a¨ z + b ˙
z + cz = d
Exercice (7.1)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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