Corrections 167
3. La tension aux bornes de la bobine est u = L
di
dt
.
Appliquons la loi des mailles au circuit : E = uR + u = Ri + L
di
dt
.
Nous en déduisons l’équation différentielle vérifiée par i(t) :
di
dt
+
i
τ
=
E
L
avec τ =
L
R
.
4. La solution de l’équation homogène s’écrit A exp(−t/τ ) où A est une constante qui reste à déterminer.
E/R est une solution particulière de l’équation avec second membre. La solution générale s’obtient en
sommant la solution de l’équation homogène et la solution particulière : i(t) = A exp(−t/τ ) + E/R.
La constante A est déterminée à l’aide de la condition initiale i(0) = 0 : A + E/R = 0.
Finalement : i(t) =
E
R
[1 − exp(−t/τ )].
La tension u(t) s’en déduit facilement :
u(t) = L
di(t)
dt
= E exp(−t/τ ).
5. Traçons ci-contre l’allure de i(t) et u(t).
Nous vérifions bien que l’intensité i tend vers
E
R
alors que la tension u tend vers 0 lorsque t τ .
i(t)
E/R
τ
t
0
E
u(t)
τ
t
0
Exercice 6.7
• Courbe 1 : on observe une diminution exponentielle de la tension et une discontinuité de cette dernière
en t = 0. On peut affirmer que u ne peut être observée aux bornes d’une capacité car sinon il y aurait
continuité de la tension. Nous éliminons donc les circuits 3 et 4. u = L
di
dt
> 0 indique une croissance
de l’intensité dans le circuit, compatible avec la fermeture de K : courbe 1 → circuit 2.
À t = 0, i = 0 : la tension E se retrouve exclusivement aux bornes de L. On obtient alors E = 5,0 V.
Pour la détermination de la constante de temps τ =
L
R
du circuit, on peut considérer l’intersection de la
tangente à l’origine avec l’asymptote à 0 V, ou à quel instant l’écart relatif entre u et son asymptote est
de 37% (soit u(τ ) = 1,8 V). On obtient par ces deux méthodes τ = 1,0 ms et par conséquent L = 1,0 H.
• Courbe 2 : on observe une augmentation exponentielle de la tension et une continuité de cette dernière
en t = 0. On peut donc affirmer que u est la tension aux bornes d’un condensateur et que ce dernier
se charge : courbe 2 → circuit 3.
Quand t → ∞, i = 0 : la tension E se retrouve exclusivement aux bornes de C. On obtient donc
E = 10 V. Pour la détermination de la constante de temps τ = RC du circuit, on peut considérer
l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote à 10 V, ou à quel instant l’écart relatif entre
u et son asymptote est de 37% (soit u(τ ) = 6,3 V). On obtient par ces deux méthodes τ = 0,070 ms et
par conséquent C = 7,0 · 10
−8 F.
Exercice 6.8
1. La loi des noeuds amène immédiatement à I = i + i
.
2. Juste avant la fermeture de l’interrupteur, i(0
− ) = 0, i
(0
− ) = 0. Il y continuité du courant au bornes
de L, donc i(0
+ ) = i(0
− ) = 0 et, par suite, i
(0
− ) = I.
3. On applique la loi des mailles dans la maille (R, L) : L
di
dt
− Ri
= 0 = L
di
dt
− R(I − i).
On obtient donc : L
di
dt
+ Ri = RI.
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3. La tension aux bornes de la bobine est u = L
di
dt
.
Appliquons la loi des mailles au circuit : E = uR + u = Ri + L
di
dt
.
Nous en déduisons l’équation différentielle vérifiée par i(t) :
di
dt
+
i
τ
=
E
L
avec τ =
L
R
.
4. La solution de l’équation homogène s’écrit A exp(−t/τ ) où A est une constante qui reste à déterminer.
E/R est une solution particulière de l’équation avec second membre. La solution générale s’obtient en
sommant la solution de l’équation homogène et la solution particulière : i(t) = A exp(−t/τ ) + E/R.
La constante A est déterminée à l’aide de la condition initiale i(0) = 0 : A + E/R = 0.
Finalement : i(t) =
E
R
[1 − exp(−t/τ )].
La tension u(t) s’en déduit facilement :
u(t) = L
di(t)
dt
= E exp(−t/τ ).
5. Traçons ci-contre l’allure de i(t) et u(t).
Nous vérifions bien que l’intensité i tend vers
E
R
alors que la tension u tend vers 0 lorsque t τ .
i(t)
E/R
τ
t
0
E
u(t)
τ
t
0
Exercice 6.7
• Courbe 1 : on observe une diminution exponentielle de la tension et une discontinuité de cette dernière
en t = 0. On peut affirmer que u ne peut être observée aux bornes d’une capacité car sinon il y aurait
continuité de la tension. Nous éliminons donc les circuits 3 et 4. u = L
di
dt
> 0 indique une croissance
de l’intensité dans le circuit, compatible avec la fermeture de K : courbe 1 → circuit 2.
À t = 0, i = 0 : la tension E se retrouve exclusivement aux bornes de L. On obtient alors E = 5,0 V.
Pour la détermination de la constante de temps τ =
L
R
du circuit, on peut considérer l’intersection de la
tangente à l’origine avec l’asymptote à 0 V, ou à quel instant l’écart relatif entre u et son asymptote est
de 37% (soit u(τ ) = 1,8 V). On obtient par ces deux méthodes τ = 1,0 ms et par conséquent L = 1,0 H.
• Courbe 2 : on observe une augmentation exponentielle de la tension et une continuité de cette dernière
en t = 0. On peut donc affirmer que u est la tension aux bornes d’un condensateur et que ce dernier
se charge : courbe 2 → circuit 3.
Quand t → ∞, i = 0 : la tension E se retrouve exclusivement aux bornes de C. On obtient donc
E = 10 V. Pour la détermination de la constante de temps τ = RC du circuit, on peut considérer
l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote à 10 V, ou à quel instant l’écart relatif entre
u et son asymptote est de 37% (soit u(τ ) = 6,3 V). On obtient par ces deux méthodes τ = 0,070 ms et
par conséquent C = 7,0 · 10
−8 F.
Exercice 6.8
1. La loi des noeuds amène immédiatement à I = i + i
.
2. Juste avant la fermeture de l’interrupteur, i(0
− ) = 0, i
(0
− ) = 0. Il y continuité du courant au bornes
de L, donc i(0
+ ) = i(0
− ) = 0 et, par suite, i
(0
− ) = I.
3. On applique la loi des mailles dans la maille (R, L) : L
di
dt
− Ri
= 0 = L
di
dt
− R(I − i).
On obtient donc : L
di
dt
+ Ri = RI.
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