168 Chapitre 6
Circuits linéaires du premier ordre
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est de la forme : i(t) = I + A exp(−t/τ )
avec τ =
L
R
. A est déterminée par la prise en compte des conditions initiales : i(0
+ ) = 0 = I + A, soit
A = −I. On aboutit donc finalement à : i(t) = I
1 − exp
−
t
τ
et i
(t) = I exp
−
t
τ
.
4. On obtient les deux graphes suivants, avec
τ = 1,0 μs.
5. Pour t τ , l’énergie stockée dans l’inductance est EL =
1
2
LI
2 = 5,0 · 10
−8 J.
6. La puissance instantanée dissipée par effet
Joule est Ri
2 = RI
2 exp(−2t/τ ). On obtient l’énergie dissipée au bout d’un temps
«infini» en intégrant cette puissance de 0
à ∞.
Il vient donc : EJ =
1
2
LI
2 = 5,0 · 10
−8 J.
7. On en déduit donc l’énergie fournie par le
générateur au bout d’un temps très long :
une partie est dissipée par effet Joule dans
la résistance, l’autre est stockée dans l’inductance. D’où Egene = LI
2 = 1,0 · 10
−7 J.
i
(mA)
1
10
1
t(μs)
0
i(mA)
1
10
1
t(μs)
0
Exercice 6.9
1. Tant que la lampe reste éteinte, elle est équivalente à un interrupteur ouvert et le condensateur se
charge sous la tension E, au travers de la résistance R. La tension aux bornes du condensateur tend
alors exponentiellement vers E. Au cours de cette charge, la lampe ne pourra donc s’allumer que si Va
est inférieur à cette limite : E > Va.
2. La tension aux bornes de la lampe croît tout d’abord exponentiellement à partir de la valeur u = 0,0 V
qui correspond à un condensateur initialement déchargé. Lorsqu’elle atteint la valeur u = 80 V, elle
se met à décroître exponentiellement jusqu’à atteindre la valeur u = 30 V. Puis elle croît à nouveau
exponentiellement jusqu’à atteindre la valeur u = 80 V et ainsi de suite. Les changements de sens de
variation de u(t) correspondent à des changements de l’état de la lampe qui est tantôt éteinte, tantôt
allumée. Lorsque u(t) croît vers la valeur u = 80 V, la lampe est éteinte, lorsque qu’elle décroît vers la
valeur u = 30 V, elle est allumée. La lampe clignote périodiquement. On déduit de ce comportement
les valeurs des potentiels d’allumage et d’extinction de la lampe : Va = 80 V et Ve = 30 V.
3. Lorsque la lampe est allumée, elle est équivalente
à une résistance r.
Loi des mailles : u = E − Ri.
Loi des nœuds appliquée au nœud A : i = i1 + i2.
Par ailleurs : i1 =
dq
dt
= C
du
dt
et i2 =
u
r
.
On en déduit : i =
E
R
−
u
R
= C
du
dt
+
u
r
.
Cela correspond bien à une loi de charge (ou de
décharge) d’un condensateur C sous une tension
E
au travers une résistance R
:
du
dt
+
u
R C
=
E
R C
avec R
=
Rr
R + r
et E
=
r
R + r
E.
E
R
i
C
i1
(N )
i2
A
q
u(t)
4. Toute solution de l’équation différentielle établie dans la question précédente tend vers la valeur E
.
Pour que la lampe puisse s’éteindre il faut donc que : E
< Ve, ce qui conduit à : E <
R + r
r
Ve.
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Circuits linéaires du premier ordre
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est de la forme : i(t) = I + A exp(−t/τ )
avec τ =
L
R
. A est déterminée par la prise en compte des conditions initiales : i(0
+ ) = 0 = I + A, soit
A = −I. On aboutit donc finalement à : i(t) = I
1 − exp
−
t
τ
et i
(t) = I exp
−
t
τ
.
4. On obtient les deux graphes suivants, avec
τ = 1,0 μs.
5. Pour t τ , l’énergie stockée dans l’inductance est EL =
1
2
LI
2 = 5,0 · 10
−8 J.
6. La puissance instantanée dissipée par effet
Joule est Ri
2 = RI
2 exp(−2t/τ ). On obtient l’énergie dissipée au bout d’un temps
«infini» en intégrant cette puissance de 0
à ∞.
Il vient donc : EJ =
1
2
LI
2 = 5,0 · 10
−8 J.
7. On en déduit donc l’énergie fournie par le
générateur au bout d’un temps très long :
une partie est dissipée par effet Joule dans
la résistance, l’autre est stockée dans l’inductance. D’où Egene = LI
2 = 1,0 · 10
−7 J.
i
(mA)
1
10
1
t(μs)
0
i(mA)
1
10
1
t(μs)
0
Exercice 6.9
1. Tant que la lampe reste éteinte, elle est équivalente à un interrupteur ouvert et le condensateur se
charge sous la tension E, au travers de la résistance R. La tension aux bornes du condensateur tend
alors exponentiellement vers E. Au cours de cette charge, la lampe ne pourra donc s’allumer que si Va
est inférieur à cette limite : E > Va.
2. La tension aux bornes de la lampe croît tout d’abord exponentiellement à partir de la valeur u = 0,0 V
qui correspond à un condensateur initialement déchargé. Lorsqu’elle atteint la valeur u = 80 V, elle
se met à décroître exponentiellement jusqu’à atteindre la valeur u = 30 V. Puis elle croît à nouveau
exponentiellement jusqu’à atteindre la valeur u = 80 V et ainsi de suite. Les changements de sens de
variation de u(t) correspondent à des changements de l’état de la lampe qui est tantôt éteinte, tantôt
allumée. Lorsque u(t) croît vers la valeur u = 80 V, la lampe est éteinte, lorsque qu’elle décroît vers la
valeur u = 30 V, elle est allumée. La lampe clignote périodiquement. On déduit de ce comportement
les valeurs des potentiels d’allumage et d’extinction de la lampe : Va = 80 V et Ve = 30 V.
3. Lorsque la lampe est allumée, elle est équivalente
à une résistance r.
Loi des mailles : u = E − Ri.
Loi des nœuds appliquée au nœud A : i = i1 + i2.
Par ailleurs : i1 =
dq
dt
= C
du
dt
et i2 =
u
r
.
On en déduit : i =
E
R
−
u
R
= C
du
dt
+
u
r
.
Cela correspond bien à une loi de charge (ou de
décharge) d’un condensateur C sous une tension
E
au travers une résistance R
:
du
dt
+
u
R C
=
E
R C
avec R
=
Rr
R + r
et E
=
r
R + r
E.
E
R
i
C
i1
(N )
i2
A
q
u(t)
4. Toute solution de l’équation différentielle établie dans la question précédente tend vers la valeur E
.
Pour que la lampe puisse s’éteindre il faut donc que : E
< Ve, ce qui conduit à : E <
R + r
r
Ve.
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