164 Chapitre 6
Circuits linéaires du premier ordre
l’équation différentielle suivante :
duC
dt
+
1
RC
uC =
1
RC
E. On voit par homogénéité des dimensions
que τ = RC est un temps.
On considère tout d’abord la solution générale de l’équation sans second membre, obtenue en posant
E = 0 : uC (t) = A exp(−t/τ ). On doit lui ajouter une solution particulière de l’équation complète.
Lorsque le second membre est constant, une solution particulière simple est aussi constante, ici uC = E.
La solution générale est la somme uC (t) = A exp(−t/τ ) + E. La constante A est déterminée en écrivant
la condition initiale à t = 0. À l’instant t = 0
− (juste avant le basculement de l’interrupteur) la
tension uC est nulle car le condensateur est déchargé. Cette tension doit être une fonction continue du
temps, donc elle est aussi nulle juste après le basculement de l’interrupteur, c’est-à-dire uC (0
+ ) = 0.
La condition s’écrit A + E = 0. On obtient finalement : uC (t) = E
1 − exp
−
t
τ
.
3. La durée Δt est l’instant t tel que uC (t) = U . Le calcul conduit à : Δt/τ = − ln
1 −
U
E
.
4.
U/E
0,5 0,7 0,9 0,99 0,999
Δt/τ 0,69 1,2 2,3 4,6
6,9
5. La dérivée à l’instant t = 0 est
duC
dt
(0) =
E
τ
.
La tangente à l’origine est donc tracée en reportant τ en abscisse et E en ordonnée.
6. On trace tout d’abord la tangente en t = 0, puis
on place les points calculés ci-dessus.
t
uC
E
τ
4,6τ
7. La tension uC est à moins de 1% de E lorsque t > 4,6τ . En pratique, le temps de charge du condensateur
est donc environ 5τ = 5RC.
Exercice 6.2
1. Lorsque e = E, l’équation différentielle pour la tension u(t) est : RC
du
dt
+ u = E, dont la solution
générale est u(t) = A exp (−t/RC) + E.
En prenant l’origine du temps sur le front montant de l’impulsion, la condition initiale imposée par la
continuité de la tension aux bornes de la capacité est u(0) = 0, ce qui permet de déterminer A. On
obtient donc : u(t) = E
1 − exp
−
t
RC
.
exp(−5) = 6,7 · 10
−3 , donc à t = τ on a u(τ ) E à mieux que 1%.
2. Pour étudier la phase qui suit le front descendant, on peut choisir une nouvelle origine du temps
coïncidant avec ce front. L’équation différentielle est maintenant RC
du
dt
+ u = 0. La solution générale
est u(t
) = B exp(−t
/RC).
Avec la condition initiale u(0) = E, on obtient : u(t
) = E exp
−
t
RC
.
3. Voici ci-contre le tracé de e(t), u(t) et s(t). On
obtient en sortie une impulsion identique à celle
de l’entrée, mais légèrement retardée.
4. Pour RC =
τ
5
, le retard est Δt =
τ
5
ln(2) = 0,14τ .
t
Tension
e(t)
s(t)
u(t)
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Circuits linéaires du premier ordre
l’équation différentielle suivante :
duC
dt
+
1
RC
uC =
1
RC
E. On voit par homogénéité des dimensions
que τ = RC est un temps.
On considère tout d’abord la solution générale de l’équation sans second membre, obtenue en posant
E = 0 : uC (t) = A exp(−t/τ ). On doit lui ajouter une solution particulière de l’équation complète.
Lorsque le second membre est constant, une solution particulière simple est aussi constante, ici uC = E.
La solution générale est la somme uC (t) = A exp(−t/τ ) + E. La constante A est déterminée en écrivant
la condition initiale à t = 0. À l’instant t = 0
− (juste avant le basculement de l’interrupteur) la
tension uC est nulle car le condensateur est déchargé. Cette tension doit être une fonction continue du
temps, donc elle est aussi nulle juste après le basculement de l’interrupteur, c’est-à-dire uC (0
+ ) = 0.
La condition s’écrit A + E = 0. On obtient finalement : uC (t) = E
1 − exp
−
t
τ
.
3. La durée Δt est l’instant t tel que uC (t) = U . Le calcul conduit à : Δt/τ = − ln
1 −
U
E
.
4.
U/E
0,5 0,7 0,9 0,99 0,999
Δt/τ 0,69 1,2 2,3 4,6
6,9
5. La dérivée à l’instant t = 0 est
duC
dt
(0) =
E
τ
.
La tangente à l’origine est donc tracée en reportant τ en abscisse et E en ordonnée.
6. On trace tout d’abord la tangente en t = 0, puis
on place les points calculés ci-dessus.
t
uC
E
τ
4,6τ
7. La tension uC est à moins de 1% de E lorsque t > 4,6τ . En pratique, le temps de charge du condensateur
est donc environ 5τ = 5RC.
Exercice 6.2
1. Lorsque e = E, l’équation différentielle pour la tension u(t) est : RC
du
dt
+ u = E, dont la solution
générale est u(t) = A exp (−t/RC) + E.
En prenant l’origine du temps sur le front montant de l’impulsion, la condition initiale imposée par la
continuité de la tension aux bornes de la capacité est u(0) = 0, ce qui permet de déterminer A. On
obtient donc : u(t) = E
1 − exp
−
t
RC
.
exp(−5) = 6,7 · 10
−3 , donc à t = τ on a u(τ ) E à mieux que 1%.
2. Pour étudier la phase qui suit le front descendant, on peut choisir une nouvelle origine du temps
coïncidant avec ce front. L’équation différentielle est maintenant RC
du
dt
+ u = 0. La solution générale
est u(t
) = B exp(−t
/RC).
Avec la condition initiale u(0) = E, on obtient : u(t
) = E exp
−
t
RC
.
3. Voici ci-contre le tracé de e(t), u(t) et s(t). On
obtient en sortie une impulsion identique à celle
de l’entrée, mais légèrement retardée.
4. Pour RC =
τ
5
, le retard est Δt =
τ
5
ln(2) = 0,14τ .
t
Tension
e(t)
s(t)
u(t)
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