162 Chapitre 6
Circuits linéaires du premier ordre
Exercice 6.11 Commande d’essuie-glace
Historiquement les commandes d’essuie-glaces consistaient à appliquer la tension constante de la
batterie aux bornes d’un moteur placé en série, qui animait les balais d’essuie-glaces. De nos jours, le
dispositif a été grandement amélioré grâce à l’utilisation de l’électronique de puissance, qui permet
la variation de la tension appliquée au moteur et la régulation de la vitesse des balais d’essuie-glaces,
grâce à des dispositifs fonctionnant en commutation minimisant les pertes énergétiques.
Nous nous proposons d’illustrer ici le principe de la conversion d’énergie entre une source de tension continue (de
f.e.m U ) et un moteur (charge) qui peut être modélisé par
une source de tension continue de f.e.m U
. Pour commander le transfert d’énergie entre ces deux sources de même
nature, sans changer la nature de l’une d’elle, on utilise un
hacheur à accumulation inductive.
La figure ci-contre donne le schéma de ce hacheur, avec
interrupteurs mécaniques K 1 et K 2 . Ces interrupteurs sont
commandés de telle façon que les deux sources ne puissent
jamais être reliées directement et que l’inductance L ne soit
jamais en circuit ouvert.
U
K 1 i 1 (t)
L
i L (t)
K 2 i 2 (t)
U
v 1 (t)
v 2 (t)
v L (t)
Le système évolue de la façon suivante :
• pour t ∈ [0, αT [, K 1 est fermé, K 2 est ouvert ;
• pour t ∈ [αT, T [, K 1 est ouvert, K 2 est fermé ;
• les différents courants et tensions doivent reprendre périodiquement la même valeur, la
période est T et α ∈]0, 1[.
1. Quelle est la relation simple reliant i 1 (t), i 2 (t) et i L (t) ? Quelle est la relation simple liant U ,
v 1 (t), v 2 (t) et U
?
2. On s’intéresse à la première phase de fonctionnement, pour t ∈ [0, αT [.
a. Que valent alors v 1 (t) et i 2 (t) ? Que deviennent alors les deux relations du 1. ?
b. Déterminer l’équation différentielle satisfaite par i L (t). La résoudre en posant i L (0) = I min .
c. Donner alors la valeur de i L (t) pour t = αT . On nommera I max cette valeur, qu’on exprimera
en fonction de I min .
3. On s’intéresse maintenant à la seconde phase de fonctionnement, pour t ∈ [αT, T [.
a. Que valent alors v 2 (t) et i 1 (t) ? Que deviennent alors les deux relations du 1. ?
b. Déterminer alors l’équation différentielle satisfaite par i L (t). La résoudre en faisant intervenir
I max .
c. Donner alors la valeur de i L (t) pour t = T . Le régime étant périodique, à quoi doit être
égale cette valeur ?
4. On dispose donc de deux équations reliant I min et I max . Montrer que la compatibilité de ces
deux équations conduit à une relation simple entre U
, U et α. Sur quel paramètre suffit-il
d’agir pour modifier la tension fournie à la charge, U restant fixée ? Conclure sur l’utilisation
de ce dispositif pour la régulation de la vitesse des balais d’essuie-glace.
5. Tracer l’évolution temporelle de i L (t), i 1 (t), v 1 (t), i 2 (t), v 2 (t) et v L (t) sur quelques périodes,
pour α = 0,7. En déduire les valeurs moyennes I L , I 1 , V 1 , I 2 , V 2 et V L de ces différentes
grandeurs.
6. Quelle relation obtient-on entre I 1 et I 2 ? Quelle est alors la puissance moyenne fournie par la
source ? reçue par la charge ? Commenter.
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Circuits linéaires du premier ordre
Exercice 6.11 Commande d’essuie-glace
Historiquement les commandes d’essuie-glaces consistaient à appliquer la tension constante de la
batterie aux bornes d’un moteur placé en série, qui animait les balais d’essuie-glaces. De nos jours, le
dispositif a été grandement amélioré grâce à l’utilisation de l’électronique de puissance, qui permet
la variation de la tension appliquée au moteur et la régulation de la vitesse des balais d’essuie-glaces,
grâce à des dispositifs fonctionnant en commutation minimisant les pertes énergétiques.
Nous nous proposons d’illustrer ici le principe de la conversion d’énergie entre une source de tension continue (de
f.e.m U ) et un moteur (charge) qui peut être modélisé par
une source de tension continue de f.e.m U
. Pour commander le transfert d’énergie entre ces deux sources de même
nature, sans changer la nature de l’une d’elle, on utilise un
hacheur à accumulation inductive.
La figure ci-contre donne le schéma de ce hacheur, avec
interrupteurs mécaniques K 1 et K 2 . Ces interrupteurs sont
commandés de telle façon que les deux sources ne puissent
jamais être reliées directement et que l’inductance L ne soit
jamais en circuit ouvert.
U
K 1 i 1 (t)
L
i L (t)
K 2 i 2 (t)
U
v 1 (t)
v 2 (t)
v L (t)
Le système évolue de la façon suivante :
• pour t ∈ [0, αT [, K 1 est fermé, K 2 est ouvert ;
• pour t ∈ [αT, T [, K 1 est ouvert, K 2 est fermé ;
• les différents courants et tensions doivent reprendre périodiquement la même valeur, la
période est T et α ∈]0, 1[.
1. Quelle est la relation simple reliant i 1 (t), i 2 (t) et i L (t) ? Quelle est la relation simple liant U ,
v 1 (t), v 2 (t) et U
?
2. On s’intéresse à la première phase de fonctionnement, pour t ∈ [0, αT [.
a. Que valent alors v 1 (t) et i 2 (t) ? Que deviennent alors les deux relations du 1. ?
b. Déterminer l’équation différentielle satisfaite par i L (t). La résoudre en posant i L (0) = I min .
c. Donner alors la valeur de i L (t) pour t = αT . On nommera I max cette valeur, qu’on exprimera
en fonction de I min .
3. On s’intéresse maintenant à la seconde phase de fonctionnement, pour t ∈ [αT, T [.
a. Que valent alors v 2 (t) et i 1 (t) ? Que deviennent alors les deux relations du 1. ?
b. Déterminer alors l’équation différentielle satisfaite par i L (t). La résoudre en faisant intervenir
I max .
c. Donner alors la valeur de i L (t) pour t = T . Le régime étant périodique, à quoi doit être
égale cette valeur ?
4. On dispose donc de deux équations reliant I min et I max . Montrer que la compatibilité de ces
deux équations conduit à une relation simple entre U
, U et α. Sur quel paramètre suffit-il
d’agir pour modifier la tension fournie à la charge, U restant fixée ? Conclure sur l’utilisation
de ce dispositif pour la régulation de la vitesse des balais d’essuie-glace.
5. Tracer l’évolution temporelle de i L (t), i 1 (t), v 1 (t), i 2 (t), v 2 (t) et v L (t) sur quelques périodes,
pour α = 0,7. En déduire les valeurs moyennes I L , I 1 , V 1 , I 2 , V 2 et V L de ces différentes
grandeurs.
6. Quelle relation obtient-on entre I 1 et I 2 ? Quelle est alors la puissance moyenne fournie par la
source ? reçue par la charge ? Commenter.
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