L’essentiel du cours 151
Attention aux signes des coefficients. Les solutions de l’équation
du
dt
−
u
τ
= α, avec τ
réel positif, divergent et n’aboutissent donc pas à un régime permanent.
Appliquons la méthode 6.1 décrite précédemment pour déterminer la loi de charge u C (t) du condensateur, solution de l’équation 6.4.
La solution générale de l’équation homogène s’écrit u Cg (t) = K exp
−
t
τ
avec τ = RC et la
solution particulière constante de l’équation complète est donnée par u Cp = E.
Nous en déduisons : u C (t) = E + K exp
−
t
τ
.
Avant la fermeture de l’interrupteur le condensateur est déchargé (u C (0
− ) = 0). La continuité de
la tension aux bornes du condensateur impose u C (0
+ ) = u C (0
− ) = 0. D’où K = −E et :
(6.5)
u C (t) = E
1 − exp
−
t
τ
Penser à ajouter la solution particulière à la solution de l’équation homogène avant de
déterminer la constante d’intégration grâce à la condition initiale.
La constante τ a la dimension d’un temps puisque l’argument d’une fonction mathématique est
sans dimension. Elle porte le nom de constante de temps.
Comment peut-on déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps ?
u C (t) = E
1 − exp
−
t
τ
=⇒
du C
dt
=
E
τ
exp
−
t
τ
=⇒
du C
dt
(0) =
E
τ
Nous en déduisons l’équation de la tangente à l’origine à la courbe u C (t) : f (t) =
E
τ
t. Cette
tangente intercepte l’asymptote de la courbe u C (t) à la date t 1 solution de l’équation
E
τ
t 1 = E.
D’où τ = t 1 (figure 6.1).
Graphiquement, nous trouvons τ = 0,38 s. Cette valeur nous conduit à une valeur de C égale à
τ /R = 2,1 mF. Dans le contexte de l’appareil photo, c’est ce temps τ qui est responsable (en partie)
du délai entre deux prises de vues avec flash.
• Tracer la tangente à l’origine à la courbe u C (t).
• Déterminer l’abscisse τ du point d’intersection de cette tangente avec l’asymptote de
la courbe u C (t).
Méthode 6.2 : Détermination graphique d’une constante de temps τ
Exercice (6.3)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Attention aux signes des coefficients. Les solutions de l’équation
du
dt
−
u
τ
= α, avec τ
réel positif, divergent et n’aboutissent donc pas à un régime permanent.
Appliquons la méthode 6.1 décrite précédemment pour déterminer la loi de charge u C (t) du condensateur, solution de l’équation 6.4.
La solution générale de l’équation homogène s’écrit u Cg (t) = K exp
−
t
τ
avec τ = RC et la
solution particulière constante de l’équation complète est donnée par u Cp = E.
Nous en déduisons : u C (t) = E + K exp
−
t
τ
.
Avant la fermeture de l’interrupteur le condensateur est déchargé (u C (0
− ) = 0). La continuité de
la tension aux bornes du condensateur impose u C (0
+ ) = u C (0
− ) = 0. D’où K = −E et :
(6.5)
u C (t) = E
1 − exp
−
t
τ
Penser à ajouter la solution particulière à la solution de l’équation homogène avant de
déterminer la constante d’intégration grâce à la condition initiale.
La constante τ a la dimension d’un temps puisque l’argument d’une fonction mathématique est
sans dimension. Elle porte le nom de constante de temps.
Comment peut-on déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps ?
u C (t) = E
1 − exp
−
t
τ
=⇒
du C
dt
=
E
τ
exp
−
t
τ
=⇒
du C
dt
(0) =
E
τ
Nous en déduisons l’équation de la tangente à l’origine à la courbe u C (t) : f (t) =
E
τ
t. Cette
tangente intercepte l’asymptote de la courbe u C (t) à la date t 1 solution de l’équation
E
τ
t 1 = E.
D’où τ = t 1 (figure 6.1).
Graphiquement, nous trouvons τ = 0,38 s. Cette valeur nous conduit à une valeur de C égale à
τ /R = 2,1 mF. Dans le contexte de l’appareil photo, c’est ce temps τ qui est responsable (en partie)
du délai entre deux prises de vues avec flash.
• Tracer la tangente à l’origine à la courbe u C (t).
• Déterminer l’abscisse τ du point d’intersection de cette tangente avec l’asymptote de
la courbe u C (t).
Méthode 6.2 : Détermination graphique d’une constante de temps τ
Exercice (6.3)
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