150 Chapitre 6
Circuits linéaires du premier ordre
La loi des mailles conduit à :
(6.2)
E = Ri + u C
Avec i = C
du C
dt
(condensateur en convention récepteur), nous obtenons l’équation différentielle :
(6.3)
du C
dt
= −
u C
RC
+
E
RC
Cette équation est identique à celle obtenue à partir du portrait de phase (équation 6.1) avec, par
identification, une pente a = −1/RC et une ordonnée à l’origine b = E/RC.
Après avoir effectué une régression linéaire de la trajectoire de phase (figure 6.2) et en exploitant ses
points A (x A = −1,0 V, y A = 16,5 V · s
−1 ) et B (x B = 6,0 V, y B = −2,7 V · s
−1 ) nous obtenons :
a =
y B − y A
x B − x A
= −2,7 s
−1 . Nous en déduisons C = −1/aR ≈ 2 mF.
Cette méthode graphique nous permet de déterminer l’ordre de grandeur de C. Cependant, en raison du bruit lié à la dérivation numérique (figure 6.2), la mesure n’est pas d’une grande précision.
3 Résolution de l’équation différentielle
Nous devrions pouvoir obtenir une valeur plus précise de C en exploitant la courbe de la figure 6.1.
Pour cela, il nous faut résoudre l’équation différentielle 6.3 de la charge du condensateur. Cette
équation peut se mettre sous la forme :
(6.4)
du C
dt
+
u C
RC
=
E
RC
Nous reconnaissons une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants,
avec un second membre constant.
Soit l’équation différentielle :
du
dt
+
u
τ
= α avec α ∈ R et τ ∈ R
+ .
Sa solution générale, de la forme u(t) = K exp
−
t
τ
+ ατ , est la somme de :
• La solution générale u g (t) de l’équation sans second membre (équation homogène) :
u g (t) = K exp
−
t
τ
avec K = cste ∈ R
• La solution particulière constante u p
du p
dt
= 0
de l’équation complète : u p = ατ .
Méthode 6.1 : Résolution d’une équation différentielle du premier ordre
La constante d’intégration K se détermine à partir de la condition initiale u(0) après avoir sommé
la solution générale et la solution particulière.
Exercices (6.1) (6.2)
Du point de vue physique, la solution de l’équation sans second membre intervient dans
le régime transitoire en s’amortissant. Elle devient négligeable en régime permanent.
partagelivrescpge.blogspot.com
Circuits linéaires du premier ordre
La loi des mailles conduit à :
(6.2)
E = Ri + u C
Avec i = C
du C
dt
(condensateur en convention récepteur), nous obtenons l’équation différentielle :
(6.3)
du C
dt
= −
u C
RC
+
E
RC
Cette équation est identique à celle obtenue à partir du portrait de phase (équation 6.1) avec, par
identification, une pente a = −1/RC et une ordonnée à l’origine b = E/RC.
Après avoir effectué une régression linéaire de la trajectoire de phase (figure 6.2) et en exploitant ses
points A (x A = −1,0 V, y A = 16,5 V · s
−1 ) et B (x B = 6,0 V, y B = −2,7 V · s
−1 ) nous obtenons :
a =
y B − y A
x B − x A
= −2,7 s
−1 . Nous en déduisons C = −1/aR ≈ 2 mF.
Cette méthode graphique nous permet de déterminer l’ordre de grandeur de C. Cependant, en raison du bruit lié à la dérivation numérique (figure 6.2), la mesure n’est pas d’une grande précision.
3 Résolution de l’équation différentielle
Nous devrions pouvoir obtenir une valeur plus précise de C en exploitant la courbe de la figure 6.1.
Pour cela, il nous faut résoudre l’équation différentielle 6.3 de la charge du condensateur. Cette
équation peut se mettre sous la forme :
(6.4)
du C
dt
+
u C
RC
=
E
RC
Nous reconnaissons une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants,
avec un second membre constant.
Soit l’équation différentielle :
du
dt
+
u
τ
= α avec α ∈ R et τ ∈ R
+ .
Sa solution générale, de la forme u(t) = K exp
−
t
τ
+ ατ , est la somme de :
• La solution générale u g (t) de l’équation sans second membre (équation homogène) :
u g (t) = K exp
−
t
τ
avec K = cste ∈ R
• La solution particulière constante u p
du p
dt
= 0
de l’équation complète : u p = ατ .
Méthode 6.1 : Résolution d’une équation différentielle du premier ordre
La constante d’intégration K se détermine à partir de la condition initiale u(0) après avoir sommé
la solution générale et la solution particulière.
Exercices (6.1) (6.2)
Du point de vue physique, la solution de l’équation sans second membre intervient dans
le régime transitoire en s’amortissant. Elle devient négligeable en régime permanent.
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