L’essentiel du cours 13
C’est l’équation de l’oscillateur harmonique avec second membre constant où ω 0 est la
pulsation propre de l’oscillateur harmonique et où x eq repère sa position à l’équilibre.
On peut montrer que toute solution de cette équation peut se mettre sous une des deux
formes équivalentes x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) + x eq ou x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) + x eq
qui constituent donc les formes de sa solution générale.
L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique avec second membre constant est :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = K avecK ∈ R
Pour trouver la solution au problème physique étudié il faut procéder par étapes :
• Écrire la solution générale de l’équation différentielle sans second membre (équation
homogène) : x 1 (t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
• Déterminer la solution particulière constante x 2 de l’équation différentielle complète,
avec second membre constant : x 2 = K/ω
2
0 . C’est la position d’équilibre du système.
• Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète, avec second membre
constant sous la forme x(t) = x 1 (t) + x 2 .
• Calculer les constantes d’intégration (A, B) ou (C, ϕ) à partir des conditions initiales.
Méthode 1.3 : Recherche de la solution de l’équation avec second membre
Exercice (1.2)
Dans l’étude d’un oscillateur il est souvent plus simple de prendre l’origine à la position
d’équilibre. L’équation différentielle à laquelle on aboutit est alors homogène.
4 Aspect énergétique
Nous verrons dans les chapitres suivants que l’étude d’un système oscillant ne peut aboutir à
l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, homogène ou avec second membre constant,
que si les phénomènes dissipatifs d’énergie sont négligés.
Comment se comporte au cours du temps l’énergie d’un oscillateur harmonique ?
Reprenons une dernière fois notre expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4),
en prenant l’origine à la position d’équilibre. Nous verrons au chapitre 12 que pour un tel
système mécanique nous pouvons définir trois types d’énergie :
• L’énergie cinétique E c =
1
2
m ˙
x
2 .
• L’énergie potentielle E p =
1
2
kx
2 .
• L’énergie mécanique E m = E p + E c .
Nous savons que x(t) = x 0 cos(ω 0 t) avec ω 0 =
k/m. Nous en déduisons :
E p =
1
2
kx
2 =
1
2
kx
2
0 cos
2 (ω 0 t) et E c =
1
2
m ˙
x
2 =
1
2
mx
2
0 ω
2
0 sin
2 (ω 0 t)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
C’est l’équation de l’oscillateur harmonique avec second membre constant où ω 0 est la
pulsation propre de l’oscillateur harmonique et où x eq repère sa position à l’équilibre.
On peut montrer que toute solution de cette équation peut se mettre sous une des deux
formes équivalentes x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) + x eq ou x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) + x eq
qui constituent donc les formes de sa solution générale.
L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique avec second membre constant est :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = K avecK ∈ R
Pour trouver la solution au problème physique étudié il faut procéder par étapes :
• Écrire la solution générale de l’équation différentielle sans second membre (équation
homogène) : x 1 (t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
• Déterminer la solution particulière constante x 2 de l’équation différentielle complète,
avec second membre constant : x 2 = K/ω
2
0 . C’est la position d’équilibre du système.
• Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète, avec second membre
constant sous la forme x(t) = x 1 (t) + x 2 .
• Calculer les constantes d’intégration (A, B) ou (C, ϕ) à partir des conditions initiales.
Méthode 1.3 : Recherche de la solution de l’équation avec second membre
Exercice (1.2)
Dans l’étude d’un oscillateur il est souvent plus simple de prendre l’origine à la position
d’équilibre. L’équation différentielle à laquelle on aboutit est alors homogène.
4 Aspect énergétique
Nous verrons dans les chapitres suivants que l’étude d’un système oscillant ne peut aboutir à
l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, homogène ou avec second membre constant,
que si les phénomènes dissipatifs d’énergie sont négligés.
Comment se comporte au cours du temps l’énergie d’un oscillateur harmonique ?
Reprenons une dernière fois notre expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4),
en prenant l’origine à la position d’équilibre. Nous verrons au chapitre 12 que pour un tel
système mécanique nous pouvons définir trois types d’énergie :
• L’énergie cinétique E c =
1
2
m ˙
x
2 .
• L’énergie potentielle E p =
1
2
kx
2 .
• L’énergie mécanique E m = E p + E c .
Nous savons que x(t) = x 0 cos(ω 0 t) avec ω 0 =
k/m. Nous en déduisons :
E p =
1
2
kx
2 =
1
2
kx
2
0 cos
2 (ω 0 t) et E c =
1
2
m ˙
x
2 =
1
2
mx
2
0 ω
2
0 sin
2 (ω 0 t)
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