12 Chapitre 1
Oscillateur harmonique
3 Solutions de l’équation différentielle
Lorsque les lois de la physique nous conduisent à une équation différentielle devant être satisfaite
par la grandeur étudiée, il nous faut rechercher parmi l’ensemble des solutions de cette équation,
celle qui satisfait aux conditions initiales de notre problème.
Reprenons l’expérience de la masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nous savons que x(t),
solution de l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0, est de la forme x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t).
Nous connaissons par ailleurs les conditions initiales : x(0) = x 0 et ˙
x(0) = 0.
x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) =⇒ ˙
x(t) = −Aω 0 sin(ω 0 t) + Bω 0 cos(ω 0 t)
Nous en déduisons :
x(0) = x 0 = A
˙
x(0) = 0 = Bω 0
=⇒ x(t) = x 0 cos(ω 0 t)
Nous pouvons également utiliser la forme x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) :
x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) =⇒ ˙
x(t) = −ωC sin(ω 0 t + ϕ)
Nous en déduisons :
x(0) = x 0 = C cos(ϕ)
˙
x(0) = 0 = −ω 0 C sin(ϕ)
=⇒
C cos(ϕ) = x 0
sin(ϕ) = 0
=⇒
ϕ = 0
C = x 0
puisque x 0 > 0 et C > 0. Nous retrouvons bien le résultat précédent x(t) = x 0 cos(ω 0 t).
La forme x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) est mieux adaptée aux calculs des constantes
d’intégration à partir des conditions initiales que la forme x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
L’équation différentielle homogène de l’oscillateur harmonique est :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0
• Sa solution générale est x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
• La solution satisfaisant au problème physique est obtenue en calculant les constantes
d’intégration (A, B) ou (C, ϕ) à partir des conditions initiales.
Méthode 1.2 : Recherche de la solution de l’équation homogène
Exercice (1.2)
Comment le choix de l’origine influe-t-il sur la forme de l’équation différentielle ?
Reprenons encore une fois notre expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nous
pouvons choisir de prendre l’origine de l’axe au point O
où le ressort est accroché à la potence.
Dans ce cas, x(t) = (t), x eq = eq et x(t) = x eq + C cos(ω 0 t + ϕ). En dérivant deux fois par rapport
au temps nous obtenons :
d
2 x
dt 2 = −ω
2
0 C cos(ω 0 t + ϕ), soit :
d
2 x
dt 2 = −ω
2
0 (x(t) − x eq ).
Nous aboutissons à une équation différentielle un peu différente de la précédente :
(1.2)
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x(t) = ω
2
0 x eq
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Oscillateur harmonique
3 Solutions de l’équation différentielle
Lorsque les lois de la physique nous conduisent à une équation différentielle devant être satisfaite
par la grandeur étudiée, il nous faut rechercher parmi l’ensemble des solutions de cette équation,
celle qui satisfait aux conditions initiales de notre problème.
Reprenons l’expérience de la masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nous savons que x(t),
solution de l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0, est de la forme x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t).
Nous connaissons par ailleurs les conditions initiales : x(0) = x 0 et ˙
x(0) = 0.
x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) =⇒ ˙
x(t) = −Aω 0 sin(ω 0 t) + Bω 0 cos(ω 0 t)
Nous en déduisons :
x(0) = x 0 = A
˙
x(0) = 0 = Bω 0
=⇒ x(t) = x 0 cos(ω 0 t)
Nous pouvons également utiliser la forme x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) :
x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ) =⇒ ˙
x(t) = −ωC sin(ω 0 t + ϕ)
Nous en déduisons :
x(0) = x 0 = C cos(ϕ)
˙
x(0) = 0 = −ω 0 C sin(ϕ)
=⇒
C cos(ϕ) = x 0
sin(ϕ) = 0
=⇒
ϕ = 0
C = x 0
puisque x 0 > 0 et C > 0. Nous retrouvons bien le résultat précédent x(t) = x 0 cos(ω 0 t).
La forme x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) est mieux adaptée aux calculs des constantes
d’intégration à partir des conditions initiales que la forme x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
L’équation différentielle homogène de l’oscillateur harmonique est :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0
• Sa solution générale est x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ).
• La solution satisfaisant au problème physique est obtenue en calculant les constantes
d’intégration (A, B) ou (C, ϕ) à partir des conditions initiales.
Méthode 1.2 : Recherche de la solution de l’équation homogène
Exercice (1.2)
Comment le choix de l’origine influe-t-il sur la forme de l’équation différentielle ?
Reprenons encore une fois notre expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nous
pouvons choisir de prendre l’origine de l’axe au point O
où le ressort est accroché à la potence.
Dans ce cas, x(t) = (t), x eq = eq et x(t) = x eq + C cos(ω 0 t + ϕ). En dérivant deux fois par rapport
au temps nous obtenons :
d
2 x
dt 2 = −ω
2
0 C cos(ω 0 t + ϕ), soit :
d
2 x
dt 2 = −ω
2
0 (x(t) − x eq ).
Nous aboutissons à une équation différentielle un peu différente de la précédente :
(1.2)
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x(t) = ω
2
0 x eq
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