L’essentiel du cours 11
Le graphe obtenu est présenté figure 1.5. Nous
constatons une allure sinusoïdale qui peut être
confirmée par une analyse spectrale, méthode
que nous avons déjà évoquée dans l’expérience
du diapason et qui sera développée dans le chapitre 2.
Cela nous amène à considérer que le corps (S)
accroché au ressort se comporte comme un oscillateur harmonique et que x(t) doit être solution de l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0.
Nous en déduisons que x(t) peut se mettre sous
une des deux formes équivalentes :
x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t)
x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ)
0
1
2
3
4
5
t (s)
−6
−4
−2
0
2
4
6
x (cm)
Figure 1.5. Position expérimentale.
Étude théorique du mouvement d’une masse accrochée à un ressort
Une étude théorique nécessite d’être capable d’exprimer la force exercée par le ressort sur le solide (S). Ce ressort est caractérisé par sa constante de raideur k (en N · m
−1 ) et sa longueur à
vide 0 (en m). Lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide, le ressort n’exerce
aucune force sur le solide. Par contre, si le ressort est étiré ( > > 0 ) il tire sur le solide, alors que
s’il est comprimé ( < < 0 ) il pousse dessus.
La force exercée par un ressort est donnée par la loi phénoménologique de Hooke.
La force de rappel exercée par un ressort, de constante de raideur k (en N · m
−1 ) et de
longueur à vide 0 , sur un solide relié en M à l’une de ses extrémités, s’écrit :
#»
F = −k( − 0 ) #» u x
où est la longueur du ressort et #» u x est le vecteur unitaire dirigé du point de fixation du
ressort vers le point M .
Définition : Loi de Hooke
Les lois de la mécanique newtonienne, qui seront abordées dans des chapitres ultérieurs, permettent
la mise en équations du problème. En repérant la position de M sur un axe vertical descendant
dont l’origine est confondu avec sa position d’équilibre, nous sommes amenés à poser x = − eq .
La loi de la quantité de mouvement (voir chapitre 11) conduit alors à l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 +
k
m
x = 0. Nous reconnaissons celle de l’oscillateur harmonique et identifions la pulsation
propre de notre système à ω 0 =
k/m. Sa période est alors T = 2π/ω 0 = 2π
m/k. La masse
du corps (S) et la constante de raideur du ressort utilisé valant respectivement m = 275 g et
k = 15,7 N · m
−1 , nous trouvons T = 0,83 s. Cela correspond à la valeur expérimentale que nous
pouvons déduire de la courbe de la figure 1.5.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Le graphe obtenu est présenté figure 1.5. Nous
constatons une allure sinusoïdale qui peut être
confirmée par une analyse spectrale, méthode
que nous avons déjà évoquée dans l’expérience
du diapason et qui sera développée dans le chapitre 2.
Cela nous amène à considérer que le corps (S)
accroché au ressort se comporte comme un oscillateur harmonique et que x(t) doit être solution de l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0.
Nous en déduisons que x(t) peut se mettre sous
une des deux formes équivalentes :
x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t)
x(t) = C cos(ω 0 t + ϕ)
0
1
2
3
4
5
t (s)
−6
−4
−2
0
2
4
6
x (cm)
Figure 1.5. Position expérimentale.
Étude théorique du mouvement d’une masse accrochée à un ressort
Une étude théorique nécessite d’être capable d’exprimer la force exercée par le ressort sur le solide (S). Ce ressort est caractérisé par sa constante de raideur k (en N · m
−1 ) et sa longueur à
vide 0 (en m). Lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide, le ressort n’exerce
aucune force sur le solide. Par contre, si le ressort est étiré ( > > 0 ) il tire sur le solide, alors que
s’il est comprimé ( < < 0 ) il pousse dessus.
La force exercée par un ressort est donnée par la loi phénoménologique de Hooke.
La force de rappel exercée par un ressort, de constante de raideur k (en N · m
−1 ) et de
longueur à vide 0 , sur un solide relié en M à l’une de ses extrémités, s’écrit :
#»
F = −k( − 0 ) #» u x
où est la longueur du ressort et #» u x est le vecteur unitaire dirigé du point de fixation du
ressort vers le point M .
Définition : Loi de Hooke
Les lois de la mécanique newtonienne, qui seront abordées dans des chapitres ultérieurs, permettent
la mise en équations du problème. En repérant la position de M sur un axe vertical descendant
dont l’origine est confondu avec sa position d’équilibre, nous sommes amenés à poser x = − eq .
La loi de la quantité de mouvement (voir chapitre 11) conduit alors à l’équation différentielle
d
2 x
dt 2 +
k
m
x = 0. Nous reconnaissons celle de l’oscillateur harmonique et identifions la pulsation
propre de notre système à ω 0 =
k/m. Sa période est alors T = 2π/ω 0 = 2π
m/k. La masse
du corps (S) et la constante de raideur du ressort utilisé valant respectivement m = 275 g et
k = 15,7 N · m
−1 , nous trouvons T = 0,83 s. Cela correspond à la valeur expérimentale que nous
pouvons déduire de la courbe de la figure 1.5.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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