10 Chapitre 1
Oscillateur harmonique
2 ... à l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
Les lois de la physique se traduisent souvent, comme nous le verrons dans les chapitres suivants,
par des équations différentielles, c’est-à-dire des équations faisant intervenir les fonctions étudiées
et leurs dérivées. Parmi les équations différentielles que nous pouvons rencontrer, certaines sont
chargées de sens pour le physicien. Nous nous proposons d’aller à la découverte de l’une d’elles.
Reprenons le cas d’une fonction x(t) de la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ). En la dérivant deux fois par
rapport au temps, nous obtenons
dx
dt
= −ωC sin(ωt + ϕ) puis
d
2 x
dt 2 = −ω
2 C cos(ωt + ϕ) = −ω
2 x.
Nous en déduisons l’équation différentielle suivante :
(1.1)
d
2 x
dt 2 + ω
2 x = 0
Cette équation est une équation différentielle linéaire (c’est une combinaison linéaire de la
fonction étudiée et de ses dérivées), du deuxième ordre (la dérivée d’ordre le plus élevé est la
dérivée seconde) sans second membre (on dit aussi homogène). Un système physique dont le
comportement est régi par cette équation porte le nom d’oscillateur harmonique.
Nous venons d’établir qu’une fonction de la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ) est solution de
l’équation 1.1. En fait, on peut montrer que toute solution de cette équation peut se
mettre sous la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ), qui constitue donc sa solution générale.
Un oscillateur harmonique est un système dont la grandeur x(t) qui le caractérise vérifie
l’équation différentielle :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0
ω 0 est la pulsation propre de l’oscillateur et se mesure en rad · s
−1 .
Définition : L’oscillateur harmonique
Attention aux signes des coefficients :
d
2 x
dt 2 −ω
2
0 x = 0 est aussi une équation différentielle
linéaire homogène du second ordre, mais ce n’est pas celle de l’oscillateur harmonique !
Expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4)
Un petit solide (S), de centre de masse M et de masse m,
est accroché à une potence par l’intermédiaire d’un ressort
vertical. La position de M est repérée sur un axe vertical
descendant dont l’origine O est confondue avec sa position
d’équilibre.
Le solide (S) étant à l’équilibre sous l’effet de son poids et
de la force exercée par le ressort, nous l’avons écarté vers le
bas d’une valeur x 0 = 4,8 cm et l’avons lâché sans vitesse.
Nous avons filmé son mouvement puis, en utilisant un logiciel d’analyse vidéo, nous avons extrait la position x(t) du
point M au cours du temps. Enfin, à l’aide de Python, nous
avons tracé le graphe de x(t).
•
M
x
O
O
eq
Figure 1.4. Oscillateur
mécanique.
partagelivrescpge.blogspot.com
Oscillateur harmonique
2 ... à l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
Les lois de la physique se traduisent souvent, comme nous le verrons dans les chapitres suivants,
par des équations différentielles, c’est-à-dire des équations faisant intervenir les fonctions étudiées
et leurs dérivées. Parmi les équations différentielles que nous pouvons rencontrer, certaines sont
chargées de sens pour le physicien. Nous nous proposons d’aller à la découverte de l’une d’elles.
Reprenons le cas d’une fonction x(t) de la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ). En la dérivant deux fois par
rapport au temps, nous obtenons
dx
dt
= −ωC sin(ωt + ϕ) puis
d
2 x
dt 2 = −ω
2 C cos(ωt + ϕ) = −ω
2 x.
Nous en déduisons l’équation différentielle suivante :
(1.1)
d
2 x
dt 2 + ω
2 x = 0
Cette équation est une équation différentielle linéaire (c’est une combinaison linéaire de la
fonction étudiée et de ses dérivées), du deuxième ordre (la dérivée d’ordre le plus élevé est la
dérivée seconde) sans second membre (on dit aussi homogène). Un système physique dont le
comportement est régi par cette équation porte le nom d’oscillateur harmonique.
Nous venons d’établir qu’une fonction de la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ) est solution de
l’équation 1.1. En fait, on peut montrer que toute solution de cette équation peut se
mettre sous la forme x(t) = C cos(ωt + ϕ), qui constitue donc sa solution générale.
Un oscillateur harmonique est un système dont la grandeur x(t) qui le caractérise vérifie
l’équation différentielle :
d
2 x
dt 2 + ω
2
0 x = 0
ω 0 est la pulsation propre de l’oscillateur et se mesure en rad · s
−1 .
Définition : L’oscillateur harmonique
Attention aux signes des coefficients :
d
2 x
dt 2 −ω
2
0 x = 0 est aussi une équation différentielle
linéaire homogène du second ordre, mais ce n’est pas celle de l’oscillateur harmonique !
Expérience d’une masse accrochée à un ressort (figure 1.4)
Un petit solide (S), de centre de masse M et de masse m,
est accroché à une potence par l’intermédiaire d’un ressort
vertical. La position de M est repérée sur un axe vertical
descendant dont l’origine O est confondue avec sa position
d’équilibre.
Le solide (S) étant à l’équilibre sous l’effet de son poids et
de la force exercée par le ressort, nous l’avons écarté vers le
bas d’une valeur x 0 = 4,8 cm et l’avons lâché sans vitesse.
Nous avons filmé son mouvement puis, en utilisant un logiciel d’analyse vidéo, nous avons extrait la position x(t) du
point M au cours du temps. Enfin, à l’aide de Python, nous
avons tracé le graphe de x(t).
•
M
x
O
O
eq
Figure 1.4. Oscillateur
mécanique.
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