L’essentiel du cours 9
Par ailleurs, x(0) = X m cos(ϕ x ) = X m implique que cos(ϕ x ) = 1 et par conséquent ϕ x = 0.
Au final, nous avons x(t) = X m cos(ωt) avec X m = 1,3 μm.
• De la même manière, cherchons u(t) sous la forme u(t) = U m cos(ωt + ϕ u ).
Sur la courbe u(t) de la figure 1.3, on mesure la même période que pour x(t) donc la même
fréquence et la même pulsation, et U m = 0,55 V. Enfin u(0) = U m cos(ϕ u ) = −0,42 V permet
de déterminer cos(ϕ u ) = −0,42/0,55. On en déduit ϕ u = ±2,4 rad. Pour choisir entre ces
deux valeurs, intéressons-nous au signe de la dérivée de u(t) à t = 0.
du
dt
= −U m ω sin(ωt+ϕ u )
donc
du
dt
(0) = −U m ω sin(ϕ u ). La fonction u(t) étant décroissante à t = 0, sin(ϕ u ) > 0, et
la solution qui convient est ϕ u = 2,4 rad. Au final, nous obtenons u(t) = U m cos(ωt + 2,4)
avec U m = 0,55 V et ω = 2πf = 1,6 · 10
3 rad · s
−1 .
Soit un signal sinusoïdal de la forme x(t) = C cos (ωt + ϕ).
• Pour déterminer l’amplitude C =
z max − z min
2
, mesurer z max et z min .
• Pour déterminer la pulsation ω, mesurer la période T et en déduire ω =
2π
T
.
• Pour déterminer ϕ, mesurer z(0) = C cos(ϕ), en déduire ϕ = ± arccos
z(0)
C
puis
choisir le bon signe en fonction du sens de variation de u(t) à t = 0.
Méthode 1.1 : Détermination des caractéristiques d’un signal sinusoïdal
Exercice (1.1)
La fonction arccos(ϕ) est définie sur l’intervalle [−1, 1] et donne des valeurs sur l’intervalle [0, π].
Le signal x(t) = C cos (ωt + ϕ) peut être mis sous la forme x(t) = A cos(ωt)+B sin(ωt).
Pour justifier cette remarque, développons la première expression de x(t) :
C cos(ωt + ϕ) = C cos(ϕ) cos(ωt) − C sin(ϕ) sin(ωt)
Par identification à la seconde expression de x(t), nous obtenons :
A = C cos(ϕ) et B = −C sin(ϕ) avec (A, B) ∈ R
2
Si on connaît C et ϕ ces relations permettent de déterminer A et B. Si à l’inverse on connaît A et
B, on peut en déduire C et ϕ tels que : C =
√
A 2 + B 2 et tan(ϕ) = −
B
A
.
La fonction arctan(ϕ) est définie sur R et donne des valeurs sur l’intervalle ] −
π/2, +π/2[. Pour déterminer ϕ qui est défini sur [−π, +π], il est important d’étudier
au préalable le signe de cos(ϕ) =
A
C
ou de sin(ϕ) = −
B
C
.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
Par ailleurs, x(0) = X m cos(ϕ x ) = X m implique que cos(ϕ x ) = 1 et par conséquent ϕ x = 0.
Au final, nous avons x(t) = X m cos(ωt) avec X m = 1,3 μm.
• De la même manière, cherchons u(t) sous la forme u(t) = U m cos(ωt + ϕ u ).
Sur la courbe u(t) de la figure 1.3, on mesure la même période que pour x(t) donc la même
fréquence et la même pulsation, et U m = 0,55 V. Enfin u(0) = U m cos(ϕ u ) = −0,42 V permet
de déterminer cos(ϕ u ) = −0,42/0,55. On en déduit ϕ u = ±2,4 rad. Pour choisir entre ces
deux valeurs, intéressons-nous au signe de la dérivée de u(t) à t = 0.
du
dt
= −U m ω sin(ωt+ϕ u )
donc
du
dt
(0) = −U m ω sin(ϕ u ). La fonction u(t) étant décroissante à t = 0, sin(ϕ u ) > 0, et
la solution qui convient est ϕ u = 2,4 rad. Au final, nous obtenons u(t) = U m cos(ωt + 2,4)
avec U m = 0,55 V et ω = 2πf = 1,6 · 10
3 rad · s
−1 .
Soit un signal sinusoïdal de la forme x(t) = C cos (ωt + ϕ).
• Pour déterminer l’amplitude C =
z max − z min
2
, mesurer z max et z min .
• Pour déterminer la pulsation ω, mesurer la période T et en déduire ω =
2π
T
.
• Pour déterminer ϕ, mesurer z(0) = C cos(ϕ), en déduire ϕ = ± arccos
z(0)
C
puis
choisir le bon signe en fonction du sens de variation de u(t) à t = 0.
Méthode 1.1 : Détermination des caractéristiques d’un signal sinusoïdal
Exercice (1.1)
La fonction arccos(ϕ) est définie sur l’intervalle [−1, 1] et donne des valeurs sur l’intervalle [0, π].
Le signal x(t) = C cos (ωt + ϕ) peut être mis sous la forme x(t) = A cos(ωt)+B sin(ωt).
Pour justifier cette remarque, développons la première expression de x(t) :
C cos(ωt + ϕ) = C cos(ϕ) cos(ωt) − C sin(ϕ) sin(ωt)
Par identification à la seconde expression de x(t), nous obtenons :
A = C cos(ϕ) et B = −C sin(ϕ) avec (A, B) ∈ R
2
Si on connaît C et ϕ ces relations permettent de déterminer A et B. Si à l’inverse on connaît A et
B, on peut en déduire C et ϕ tels que : C =
√
A 2 + B 2 et tan(ϕ) = −
B
A
.
La fonction arctan(ϕ) est définie sur R et donne des valeurs sur l’intervalle ] −
π/2, +π/2[. Pour déterminer ϕ qui est défini sur [−π, +π], il est important d’étudier
au préalable le signe de cos(ϕ) =
A
C
ou de sin(ϕ) = −
B
C
.
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