8 Chapitre 1
Oscillateur harmonique
• Sa pulsation : ω = 2πf =
2π
T
(en rad · s
−1 ).
On en déduit trois expressions équivalentes de la fonction x(t) :
x(t) = C cos
2π
T
t + ϕ
= C cos (2πf t + ϕ) = C cos (ωt + ϕ)
Expérience du diapason (figure 1.2)
Un diapason, emboîté sur sa caisse de résonance (C), est mis en vibration au moyen d’un marteau
en caoutchouc. Le son émis est capté avec un microphone M placé à une distance d de l’ouverture
de la caisse et relié à un amplificateur non représenté. La position, selon un axe (Ox), d’une
branche du diapason est déterminée par intégration temporelle de son accélération a x (t) mesurée à
l’aide d’un accéléromètre A fixé à sa base. Le microphone et l’accéléromètre délivrent des tensions
analogiques proportionnelles au volume du son émis, pour l’un et à l’accélération, pour l’autre.
x
A
M
A/N
d
a x
u
C
Figure 1.2. Dispositif expérimental.
0
5
10
15
20
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x (μm)
Diapason 256 Hz d = 10 cm
0
5
10
15
20
t (ms)
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
u (V)
Figure 1.3. Résultats expérimentaux.
Le bloc (A/N) représenté figure 1.2 est un convertisseur analogique-numérique qui permet de
convertir les signaux analogiques délivrés par nos capteurs en signaux numériques pouvant être
acquis et traités par ordinateur. La double intégration temporelle de l’accélération permettant
d’obtenir la position est réalisée à l’aide d’un script Python.
Le déplacement x(t) de la branche du diapason autour de sa position d’équilibre et la tension
u(t) à la sortie de l’amplificateur sont représentés sur la figure 1.3. Nous constatons que ces deux
signaux ont des allures très proches de celle d’une sinusoïde. Une analyse spectrale, méthode qui
sera développée dans le chapitre 2 consacré à la propagation d’un signal, permet de le confirmer.
Nous allons donc les modéliser comme étant deux signaux sinusoïdaux.
Comment déterminer les caractéristiques de ces signaux sinusoïdaux ?
• Cherchons x(t) sous la forme x(t) = X m cos(ωt + ϕ x ).
Sur la courbe x(t) de la figure 1.3, on mesure T = 3,9 ms, X m = 1,3 μm et x(0) = 1,3 μm.
On en déduit f =
1
T
= 2,6 · 10
2 Hz et ω = 2πf = 1,6 · 10
3 rad · s
−1 .
partagelivrescpge.blogspot.com
Oscillateur harmonique
• Sa pulsation : ω = 2πf =
2π
T
(en rad · s
−1 ).
On en déduit trois expressions équivalentes de la fonction x(t) :
x(t) = C cos
2π
T
t + ϕ
= C cos (2πf t + ϕ) = C cos (ωt + ϕ)
Expérience du diapason (figure 1.2)
Un diapason, emboîté sur sa caisse de résonance (C), est mis en vibration au moyen d’un marteau
en caoutchouc. Le son émis est capté avec un microphone M placé à une distance d de l’ouverture
de la caisse et relié à un amplificateur non représenté. La position, selon un axe (Ox), d’une
branche du diapason est déterminée par intégration temporelle de son accélération a x (t) mesurée à
l’aide d’un accéléromètre A fixé à sa base. Le microphone et l’accéléromètre délivrent des tensions
analogiques proportionnelles au volume du son émis, pour l’un et à l’accélération, pour l’autre.
x
A
M
A/N
d
a x
u
C
Figure 1.2. Dispositif expérimental.
0
5
10
15
20
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x (μm)
Diapason 256 Hz d = 10 cm
0
5
10
15
20
t (ms)
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
u (V)
Figure 1.3. Résultats expérimentaux.
Le bloc (A/N) représenté figure 1.2 est un convertisseur analogique-numérique qui permet de
convertir les signaux analogiques délivrés par nos capteurs en signaux numériques pouvant être
acquis et traités par ordinateur. La double intégration temporelle de l’accélération permettant
d’obtenir la position est réalisée à l’aide d’un script Python.
Le déplacement x(t) de la branche du diapason autour de sa position d’équilibre et la tension
u(t) à la sortie de l’amplificateur sont représentés sur la figure 1.3. Nous constatons que ces deux
signaux ont des allures très proches de celle d’une sinusoïde. Une analyse spectrale, méthode qui
sera développée dans le chapitre 2 consacré à la propagation d’un signal, permet de le confirmer.
Nous allons donc les modéliser comme étant deux signaux sinusoïdaux.
Comment déterminer les caractéristiques de ces signaux sinusoïdaux ?
• Cherchons x(t) sous la forme x(t) = X m cos(ωt + ϕ x ).
Sur la courbe x(t) de la figure 1.3, on mesure T = 3,9 ms, X m = 1,3 μm et x(0) = 1,3 μm.
On en déduit f =
1
T
= 2,6 · 10
2 Hz et ω = 2πf = 1,6 · 10
3 rad · s
−1 .
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