1
CHAPITRE
Oscillateur harmonique
L’essentiel du cours
Les systèmes oscillatoires sont nombreux dans notre quotidien. Il suffit d’observer par sa
fenêtre : un enfant joue à la balançoire, un oiseau passe en battant des ailes, une branche
d’arbre oscille après le passage d’une rafale de vent, une voisine fait ses vocalises... Bien qu’il
s’agisse de phénomènes physiques bien différents, on peut se demander si un même modèle
mathématique simple peut les décrire.
Contexte
Pour tenter de répondre à cette question, nous avons étudié expérimentalement trois phénomènes physiques différents : les vibrations d’une branche d’un diapason et le son qu’il émet, ainsi
que le mouvement d’une masse accrochée à un ressort.
1 Du signal sinusoïdal...
Considérons une grandeur physique x(t) oscillant de façon sinusoïdale. Elle est décrite par une
fonction x(t) = C cos
2π
T
t + ϕ
, dont la représentation graphique est précisée sur la figure 1.1.
t
x
O
C
−C
T
C cos(ϕ)
Figure 1.1. Une fonction sinusoïdale.
Quelques éléments de vocabulaire concernant x(t) :
• C est l’amplitude. Elle est positive et son unité
est la même que celle de x.
• T est la période. Positive, elle s’exprime en
secondes.
• ϕ est la phase à l’origine. Appartenant à l’intervalle ] − π, +π], elle s’exprime en radians.
La phase à l’origine est l’argument du cosinus lorsque
t = 0. Nous pouvons lire sur le graphe x(0) = C cos(ϕ).
La fonction cosinus étant 2π-périodique (cos(x + 2π) = cos(x)), la fonction x(t) est T -périodique.
Nous pouvons le vérifier rapidement :
x(t + T ) = C cos
2π
T
(t + T ) + ϕ
= C cos
2π
T
t + 2π + ϕ
= C cos
2π
T
t + ϕ
= x(t)
Nous pouvons définir deux autres grandeurs caractérisant la périodicité de la fonction x(t) :
• Sa fréquence : f =
1
T
. Elle représente le nombre de répétitions du signal par seconde et
s’exprime en Hz.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
CHAPITRE
Oscillateur harmonique
L’essentiel du cours
Les systèmes oscillatoires sont nombreux dans notre quotidien. Il suffit d’observer par sa
fenêtre : un enfant joue à la balançoire, un oiseau passe en battant des ailes, une branche
d’arbre oscille après le passage d’une rafale de vent, une voisine fait ses vocalises... Bien qu’il
s’agisse de phénomènes physiques bien différents, on peut se demander si un même modèle
mathématique simple peut les décrire.
Contexte
Pour tenter de répondre à cette question, nous avons étudié expérimentalement trois phénomènes physiques différents : les vibrations d’une branche d’un diapason et le son qu’il émet, ainsi
que le mouvement d’une masse accrochée à un ressort.
1 Du signal sinusoïdal...
Considérons une grandeur physique x(t) oscillant de façon sinusoïdale. Elle est décrite par une
fonction x(t) = C cos
2π
T
t + ϕ
, dont la représentation graphique est précisée sur la figure 1.1.
t
x
O
C
−C
T
C cos(ϕ)
Figure 1.1. Une fonction sinusoïdale.
Quelques éléments de vocabulaire concernant x(t) :
• C est l’amplitude. Elle est positive et son unité
est la même que celle de x.
• T est la période. Positive, elle s’exprime en
secondes.
• ϕ est la phase à l’origine. Appartenant à l’intervalle ] − π, +π], elle s’exprime en radians.
La phase à l’origine est l’argument du cosinus lorsque
t = 0. Nous pouvons lire sur le graphe x(0) = C cos(ϕ).
La fonction cosinus étant 2π-périodique (cos(x + 2π) = cos(x)), la fonction x(t) est T -périodique.
Nous pouvons le vérifier rapidement :
x(t + T ) = C cos
2π
T
(t + T ) + ϕ
= C cos
2π
T
t + 2π + ϕ
= C cos
2π
T
t + ϕ
= x(t)
Nous pouvons définir deux autres grandeurs caractérisant la périodicité de la fonction x(t) :
• Sa fréquence : f =
1
T
. Elle représente le nombre de répétitions du signal par seconde et
s’exprime en Hz.
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