114 Chapitre 4
Introduction au monde quantique
Corrections
Interro de cours
1. Réponses (a) et (b).
2. Réponse (c).
3. Réponse (a).
4. Réponses (a) et (d) : Ec =
1
2
mv
2 puis λ =
h
mv
.
5. Réponses (a), (b) et (c).
6. Réponses (a) et (d) : par analogie avec la corde vibrante, a = n
λn
2
(
λn
2
est la distance entre deux
nœuds successifs pour le mode n), En =
p
2
n
2m
et pn =
h
λn
=
nh
2a
.
Exercice 4.1
1. La particule ne pouvant pas pénétrer dans la zone extérieure au puits, où le potentiel est infini, sa
fonction d’onde doit s’annuler en x = 0 et x = L, si on note (Ox) l’axe sur lequel l’électron peut se
mouvoir. Ceci est analogue à la situation de la corde de Melde fixée à ses deux extrémités. La fonction
d’onde spatiale de l’électron va prendre la forme : ϕ(x) = A sin(kx) et k =
2π
λ
. Les conditions aux
limites s’écrivant ϕ(0) = ϕ(L) = 0, on obtient une quantification de k, et donc de λ : kn =
nπ
L
et
λn =
2L
n
avec n entier relatif non nul. Grâce à la relation de de Broglie, on remonte à pn =
nh
2L
, et à
l’énergie associée, uniquement sous forme cinétique car dans le puits, V (x) = 0 : En =
p
2
n
2me
=
n
2 h
2
8meL 2 .
2. E12 − E11 =
h
2
8meL 2 (12
2 − 11
2 ) = 2,6 eV .
3. E12 − E11 = hν = h
c
λ
, soit λ =
hc
E12 − E11
= 0,48 μm, ce qui se situe dans le bleu.
4. La bande d’absorption par la molécule de β-carotène se situant dans le bleu, la soupe de potiron
apparaîtra de la couleur complémentaire au bleu, c’est-à-dire orange.
Exercice 4.2
1. La figure présente tout d’abord un caractère discret, analogue à celui qu’on obtiendrait en envoyant des
particules une à une sur le détecteur et les impacts observés semblent se répartir de façon totalement
aléatoire (N = 100). On peut donc interpréter ce phénomène en disant que la source émet une succession
de photons individuels, qui produisent des impacts discrets sur le détecteur.
Au fur et à mesure qu’on envoie des photons, lorsque N croît, on constate cependant que les impacts
sont plus fréquents dans les régions qui correspondent aux franges brillantes selon la théorie ondulatoire,
et lorsque N devient très grand, on retrouve finalement une densité d’impacts correspondant à la figure
d’interférences à deux ondes.
2. Dans une approche probabiliste, si seule la fente 1 était ouverte, la probabilité qu’un photon parvienne
sur un élément de surface dS centré en M est dP1(M, t) = |Ψ1(M, t)|
2 dS, avec Ψ1(M, t) la fonction
d’onde correspondant au passage par la fente 1 (état propre 1).
Si seule la fente 2 était ouverte, la probabilité qu’un photon parvienne sur un élément de surface dS
centré en M est dP2(M, t) = |Ψ2(M, t)|
2 dS, avec Ψ2(M, t) la fonction d’onde correspondant au passage
par la fente 2 (état propre 2).
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1. Réponses (a) et (b).
2. Réponse (c).
3. Réponse (a).
4. Réponses (a) et (d) : Ec =
1
2
mv
2 puis λ =
h
mv
.
5. Réponses (a), (b) et (c).
6. Réponses (a) et (d) : par analogie avec la corde vibrante, a = n
λn
2
(
λn
2
est la distance entre deux
nœuds successifs pour le mode n), En =
p
2
n
2m
et pn =
h
λn
=
nh
2a
.
Exercice 4.1
1. La particule ne pouvant pas pénétrer dans la zone extérieure au puits, où le potentiel est infini, sa
fonction d’onde doit s’annuler en x = 0 et x = L, si on note (Ox) l’axe sur lequel l’électron peut se
mouvoir. Ceci est analogue à la situation de la corde de Melde fixée à ses deux extrémités. La fonction
d’onde spatiale de l’électron va prendre la forme : ϕ(x) = A sin(kx) et k =
2π
λ
. Les conditions aux
limites s’écrivant ϕ(0) = ϕ(L) = 0, on obtient une quantification de k, et donc de λ : kn =
nπ
L
et
λn =
2L
n
avec n entier relatif non nul. Grâce à la relation de de Broglie, on remonte à pn =
nh
2L
, et à
l’énergie associée, uniquement sous forme cinétique car dans le puits, V (x) = 0 : En =
p
2
n
2me
=
n
2 h
2
8meL 2 .
2. E12 − E11 =
h
2
8meL 2 (12
2 − 11
2 ) = 2,6 eV .
3. E12 − E11 = hν = h
c
λ
, soit λ =
hc
E12 − E11
= 0,48 μm, ce qui se situe dans le bleu.
4. La bande d’absorption par la molécule de β-carotène se situant dans le bleu, la soupe de potiron
apparaîtra de la couleur complémentaire au bleu, c’est-à-dire orange.
Exercice 4.2
1. La figure présente tout d’abord un caractère discret, analogue à celui qu’on obtiendrait en envoyant des
particules une à une sur le détecteur et les impacts observés semblent se répartir de façon totalement
aléatoire (N = 100). On peut donc interpréter ce phénomène en disant que la source émet une succession
de photons individuels, qui produisent des impacts discrets sur le détecteur.
Au fur et à mesure qu’on envoie des photons, lorsque N croît, on constate cependant que les impacts
sont plus fréquents dans les régions qui correspondent aux franges brillantes selon la théorie ondulatoire,
et lorsque N devient très grand, on retrouve finalement une densité d’impacts correspondant à la figure
d’interférences à deux ondes.
2. Dans une approche probabiliste, si seule la fente 1 était ouverte, la probabilité qu’un photon parvienne
sur un élément de surface dS centré en M est dP1(M, t) = |Ψ1(M, t)|
2 dS, avec Ψ1(M, t) la fonction
d’onde correspondant au passage par la fente 1 (état propre 1).
Si seule la fente 2 était ouverte, la probabilité qu’un photon parvienne sur un élément de surface dS
centré en M est dP2(M, t) = |Ψ2(M, t)|
2 dS, avec Ψ2(M, t) la fonction d’onde correspondant au passage
par la fente 2 (état propre 2).
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