L’essentiel du cours 105
vitesse de la particule à t = 0 nous pouvons alors en déduire la position et la vitesse de la particule
à chaque instant. Les lois de la physique classique sont déterministes.
Qu’en est-il si on aborde le problème d’un point de vue quantique ?
La particule quantique doit être décrite à l’aide d’une fonction d’onde Ψ(x, t). En dehors de l’intervalle [0, L], la densité de probabilité est nulle car la particule ne peut s’y trouver : |Ψ(x, t)|
2 = 0.
Par continuité en x = 0 et en x = L, on en déduit que Ψ(x = 0, t) = 0 et Ψ(x = L, t) = 0 :
nous retrouvons les mêmes conditions aux limites que celles de l’onde stationnaire sur la corde de
Melde. Par analogie, la fonction d’onde Ψ(x, t) est de la forme Ψ(x, t) = f (x)g(t) définie sur C, avec
f (x) = C sin(kx + ϕ) où k =
2π
λ
est la pulsation spatiale de la fonction d’onde avec λ la longueur
d’onde de de Broglie (λ = h/p). Nous admettrons que g(t) = exp(−iωt), où ω = 2πν =
E
est la
pulsation temporelle de la fonction d’onde avec E l’énergie de la particule.
On rappelle que la relation λ =
c
ν
valable pour une onde lumineuse ne l’est pas pour
une onde de matière !
Ψ(x = 0, t) = 0 ⇒ f (x = 0) = C sin(ϕ) = 0 soit ϕ = 0 et f (x) = C sin(kx).
Ψ(x = L, t) = 0 ⇒ f (x = L) = C sin(kL) = 0 soit k = k n = nπ/L avec n ∈ N
∗ . Or k n =
2π
λ n
=
nπ
L
:
la longueur d’onde de de Broglie ne peut donc prendre que certaines valeurs discrètes λ n =
2L
n
avec n ∈ N
∗ . Comme dans le cas de la corde de Melde, la longueur de la cavité est égale à un
nombre entier de fois la demi longueur d’onde.
L’énergie potentielle de la particule étant nulle dans le puits, l’énergie E de la particule quantique
confinée est égale à son énergie cinétique : E = E c =
1
2
mv
2 =
1
2
p
2
m
.
Il en découle une quantification de l’énergie de la particule : E n =
1
2
h
2
mλ 2
n
=
1
2
h
2
m
n
2
4L 2 . Cette
énergie augmente en n
2 .
L’énergie d’une particule libre confinée dans un puits unidimensionnel infini est quantifiée et
a pour expression :
E n = n
2 h
2
8mL 2 où n ∈ N
∗
Énergie d’une particule libre confinée 1D
L’énergie de la particule confinée n’est jamais nulle et sa valeur minimale correspond à n = 1
soit E 1 =
h
2
8mL 2 . Ainsi, contrairement au point de vue classique, la particule ne peut pas être
immobile en un point de l’axe. La densité de probabilité de présence de la particule en x est ainsi
|Ψ(x, t)|
2 = |C|
2 sin
2
nπ
x
L
. Il existe donc des ventres et des nœuds de probabilité de présence
comme nous avions trouvé des ventres et des nœuds d’amplitude sur la corde de Melde (dans le
chapitre 2).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
partagelivrescpge.blogspot.com
vitesse de la particule à t = 0 nous pouvons alors en déduire la position et la vitesse de la particule
à chaque instant. Les lois de la physique classique sont déterministes.
Qu’en est-il si on aborde le problème d’un point de vue quantique ?
La particule quantique doit être décrite à l’aide d’une fonction d’onde Ψ(x, t). En dehors de l’intervalle [0, L], la densité de probabilité est nulle car la particule ne peut s’y trouver : |Ψ(x, t)|
2 = 0.
Par continuité en x = 0 et en x = L, on en déduit que Ψ(x = 0, t) = 0 et Ψ(x = L, t) = 0 :
nous retrouvons les mêmes conditions aux limites que celles de l’onde stationnaire sur la corde de
Melde. Par analogie, la fonction d’onde Ψ(x, t) est de la forme Ψ(x, t) = f (x)g(t) définie sur C, avec
f (x) = C sin(kx + ϕ) où k =
2π
λ
est la pulsation spatiale de la fonction d’onde avec λ la longueur
d’onde de de Broglie (λ = h/p). Nous admettrons que g(t) = exp(−iωt), où ω = 2πν =
E
est la
pulsation temporelle de la fonction d’onde avec E l’énergie de la particule.
On rappelle que la relation λ =
c
ν
valable pour une onde lumineuse ne l’est pas pour
une onde de matière !
Ψ(x = 0, t) = 0 ⇒ f (x = 0) = C sin(ϕ) = 0 soit ϕ = 0 et f (x) = C sin(kx).
Ψ(x = L, t) = 0 ⇒ f (x = L) = C sin(kL) = 0 soit k = k n = nπ/L avec n ∈ N
∗ . Or k n =
2π
λ n
=
nπ
L
:
la longueur d’onde de de Broglie ne peut donc prendre que certaines valeurs discrètes λ n =
2L
n
avec n ∈ N
∗ . Comme dans le cas de la corde de Melde, la longueur de la cavité est égale à un
nombre entier de fois la demi longueur d’onde.
L’énergie potentielle de la particule étant nulle dans le puits, l’énergie E de la particule quantique
confinée est égale à son énergie cinétique : E = E c =
1
2
mv
2 =
1
2
p
2
m
.
Il en découle une quantification de l’énergie de la particule : E n =
1
2
h
2
mλ 2
n
=
1
2
h
2
m
n
2
4L 2 . Cette
énergie augmente en n
2 .
L’énergie d’une particule libre confinée dans un puits unidimensionnel infini est quantifiée et
a pour expression :
E n = n
2 h
2
8mL 2 où n ∈ N
∗
Énergie d’une particule libre confinée 1D
L’énergie de la particule confinée n’est jamais nulle et sa valeur minimale correspond à n = 1
soit E 1 =
h
2
8mL 2 . Ainsi, contrairement au point de vue classique, la particule ne peut pas être
immobile en un point de l’axe. La densité de probabilité de présence de la particule en x est ainsi
|Ψ(x, t)|
2 = |C|
2 sin
2
nπ
x
L
. Il existe donc des ventres et des nœuds de probabilité de présence
comme nous avions trouvé des ventres et des nœuds d’amplitude sur la corde de Melde (dans le
chapitre 2).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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