104 Chapitre 4
Introduction au monde quantique
Afin d’interpréter l’expérience d’interférences avec des particules matérielles évoquée ci-dessus,
nous devons appliquer à la fonction d’onde un principe de superposition. Notons Ψ 1 (M, t)
la fonction d’onde décrivant la particule lorsque seule la fente 1 est présente (l’autre fente est
fermée), et Ψ 2 (M, t) la fonction d’onde lorsque seule la fente 2 est présente. Lorsque les deux fentes
sont présentes, la fonction d’onde décrivant la particule est proportionnelle à la somme des deux
fonctions d’onde précédentes : Ψ(M, t) = α(Ψ 1 (M, t)+Ψ 2 (M, t)). En première approche, on pourra
prendre α = 1. La probabilité de détecter la particule au voisinage d’un point M de l’écran est
alors proportionnelle à :
|Ψ(M, t)|
2 =|Ψ 1 (M, t) + Ψ 2 (M, t)|
2
=|Ψ 1 (M, t)|
2 + |Ψ 2 (M, t)|
2 + (Ψ 1 (M, t)Ψ
∗
2 (M, t) + Ψ
∗
1 (M, t)Ψ 2 (M, t))
Nous obtenons une densité de probabilité qui n’est pas simplement la somme des densités de probabilité |Ψ 1 (M, t)|
2 et |Ψ 2 (M, t)|
2 , mais comporte en plus un terme d’interférence. C’est ce terme
d’interférence qui contient les variations spatiales de probabilité d’impact observées expérimentalement sur l’écran. L’existence de ce terme d’interférence, prouvée expérimentalement, montre
que la notion de trajectoire, telle qu’elle est définie en mécanique classique, ne peut expliquer le
mouvement de la particule entre la source et l’écran de détection.
4 Quantification de l’énergie d’une particule libre confinée 1D
Pour décrire le comportement d’un électron dans un atome, la physique quantique est nécessaire,
car la longueur d’onde de de Broglie de l’électron est de l’ordre de la taille de l’atome. Cette théorie
permet par exemple de retrouver la quantification des niveaux d’énergie permis pour l’électron, en
accord avec le spectre discret d’émission, véritable carte d’identité de l’atome.
Pour mettre en évidence le principe de la quantification, nous allons ici étudier le cas simple
d’une particule libre confinée dans un puits infini à une dimension. La particule est libre
de se déplacer sur l’axe (Ox) tout en restant confinée entre x = 0 et x = L. Elle possède une
énergie potentielle nulle entre x = 0 et x = L et infinie à l’extérieur de l’intervalle entre x = 0 et
x = L, ce qui l’empêche d’en sortir.
x
O
L
Figure 4.8. Confinement d’une particule.
x
V
O
L
V = 0
V → ∞
V → ∞
Figure 4.9. Puits unidimensionnel infini.
Quel résultat donne la mécanique classique ?
Si nous étudions ce problème d’un point de vue classique, en supposant une particule ponctuelle
déposée avec une vitesse #» v 0 = v 0
#» u x à l’intérieur du puits, celle-ci va évoluer à énergie mécanique
constante, donc à énergie cinétique constante et va faire une série d’aller-retour entre x = 0 et
x = L à vitesse constante. Nous remarquons de plus que si nous connaissons la position et la
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Introduction au monde quantique
Afin d’interpréter l’expérience d’interférences avec des particules matérielles évoquée ci-dessus,
nous devons appliquer à la fonction d’onde un principe de superposition. Notons Ψ 1 (M, t)
la fonction d’onde décrivant la particule lorsque seule la fente 1 est présente (l’autre fente est
fermée), et Ψ 2 (M, t) la fonction d’onde lorsque seule la fente 2 est présente. Lorsque les deux fentes
sont présentes, la fonction d’onde décrivant la particule est proportionnelle à la somme des deux
fonctions d’onde précédentes : Ψ(M, t) = α(Ψ 1 (M, t)+Ψ 2 (M, t)). En première approche, on pourra
prendre α = 1. La probabilité de détecter la particule au voisinage d’un point M de l’écran est
alors proportionnelle à :
|Ψ(M, t)|
2 =|Ψ 1 (M, t) + Ψ 2 (M, t)|
2
=|Ψ 1 (M, t)|
2 + |Ψ 2 (M, t)|
2 + (Ψ 1 (M, t)Ψ
∗
2 (M, t) + Ψ
∗
1 (M, t)Ψ 2 (M, t))
Nous obtenons une densité de probabilité qui n’est pas simplement la somme des densités de probabilité |Ψ 1 (M, t)|
2 et |Ψ 2 (M, t)|
2 , mais comporte en plus un terme d’interférence. C’est ce terme
d’interférence qui contient les variations spatiales de probabilité d’impact observées expérimentalement sur l’écran. L’existence de ce terme d’interférence, prouvée expérimentalement, montre
que la notion de trajectoire, telle qu’elle est définie en mécanique classique, ne peut expliquer le
mouvement de la particule entre la source et l’écran de détection.
4 Quantification de l’énergie d’une particule libre confinée 1D
Pour décrire le comportement d’un électron dans un atome, la physique quantique est nécessaire,
car la longueur d’onde de de Broglie de l’électron est de l’ordre de la taille de l’atome. Cette théorie
permet par exemple de retrouver la quantification des niveaux d’énergie permis pour l’électron, en
accord avec le spectre discret d’émission, véritable carte d’identité de l’atome.
Pour mettre en évidence le principe de la quantification, nous allons ici étudier le cas simple
d’une particule libre confinée dans un puits infini à une dimension. La particule est libre
de se déplacer sur l’axe (Ox) tout en restant confinée entre x = 0 et x = L. Elle possède une
énergie potentielle nulle entre x = 0 et x = L et infinie à l’extérieur de l’intervalle entre x = 0 et
x = L, ce qui l’empêche d’en sortir.
x
O
L
Figure 4.8. Confinement d’une particule.
x
V
O
L
V = 0
V → ∞
V → ∞
Figure 4.9. Puits unidimensionnel infini.
Quel résultat donne la mécanique classique ?
Si nous étudions ce problème d’un point de vue classique, en supposant une particule ponctuelle
déposée avec une vitesse #» v 0 = v 0
#» u x à l’intérieur du puits, celle-ci va évoluer à énergie mécanique
constante, donc à énergie cinétique constante et va faire une série d’aller-retour entre x = 0 et
x = L à vitesse constante. Nous remarquons de plus que si nous connaissons la position et la
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