3 • Postulats de la physique statistique
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EXERCICES
1. I) On considère un champ carré de côté 4L, subdivisé en 4 parties commeil est indiqué sur la figure. Une pluie de météorites tombe uniformément
sur le champ (l’impact en tout point est équiprobable).
1- Calculer la probabilité pour qu’une météorite tombe dans chacune des 4
régions indiquées sur la figure.
2- Calculer l’entropie d’information du système.
3- Si le champ était subdivisé en 4 parties égales, quelle serait l’entropie
d’information ? Que conclure ?
II) On considère une cible constituée d’un ensemble de quatre cercles
concentriques de rayon R, 2R, 3R et 4R. On envoie des flèches sur cette cible et on suppose
que tous les points d’impact sont équiprobables. On définit 4 domaines différents : Le domaine 1
contient les points situés à une distance 0 r R, le domaine 2 correspond aux points tels que
R r 2R, le domaine 3 à 2R r 3R et le domaine 4 à 3R r 4R.
1- Quelle est la probabilité P i pour qu’une flèche tombe dans le domaine i ?
2- Quelle est l’entropie d’information du système ?
2. Considérons un système A constitué de deux sous-systèmes A 1 et A 2 . A 1 (A 2 ) a la probabilité
P
(1)
r (P
(2)
s ) d’accéder à l’état r (s). L’entropie de chacun des sous-systèmes est donnée par :
S 1 = −k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r
et S 2 = −k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
Pour le système total, le micro-état considéré est caractérisé par le couple d’indices (r, s) et dans
le cas général l’entropie de A est donnée par : S = −k
r,s P r,s Log P r,s , où P r,s est la probabilité
pour A d’accéder au micro-état (r, s) considéré.
1- Montrer que si A 1 et A 2 interagissent très faiblement, i.e. s’ils sont statistiquement indépendants, on a : S = S 1 + S 2 .
2- Dans cette question, les deux systèmes ne sont plus statistiquement indépendants. Dans ce cas
là, on a les relations générales :
P
(1)
r =
s
P r,s et P
(2)
s =
r
P r,s
et les conditions de normalisation
r P
(1)
r = 1 et
s P
(2)
s = 1.
a) Montrer que :
S − (S 1 + S 2 ) = k
r,s
P rs Log
P
(1)
r P
(2)
s
P rs
b) Démontrer sur un graphique l’inégalité Log x x − 1.
c) En déduire dans ce cas que S S 1 + S 2 . À quoi correspond l’égalité ? Quelles sont les
conséquences sur l’entropie de la présence de corrélations entre les deux sous-systèmes ?
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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EXERCICES
1. I) On considère un champ carré de côté 4L, subdivisé en 4 parties commeil est indiqué sur la figure. Une pluie de météorites tombe uniformément
sur le champ (l’impact en tout point est équiprobable).
1- Calculer la probabilité pour qu’une météorite tombe dans chacune des 4
régions indiquées sur la figure.
2- Calculer l’entropie d’information du système.
3- Si le champ était subdivisé en 4 parties égales, quelle serait l’entropie
d’information ? Que conclure ?
II) On considère une cible constituée d’un ensemble de quatre cercles
concentriques de rayon R, 2R, 3R et 4R. On envoie des flèches sur cette cible et on suppose
que tous les points d’impact sont équiprobables. On définit 4 domaines différents : Le domaine 1
contient les points situés à une distance 0 r R, le domaine 2 correspond aux points tels que
R r 2R, le domaine 3 à 2R r 3R et le domaine 4 à 3R r 4R.
1- Quelle est la probabilité P i pour qu’une flèche tombe dans le domaine i ?
2- Quelle est l’entropie d’information du système ?
2. Considérons un système A constitué de deux sous-systèmes A 1 et A 2 . A 1 (A 2 ) a la probabilité
P
(1)
r (P
(2)
s ) d’accéder à l’état r (s). L’entropie de chacun des sous-systèmes est donnée par :
S 1 = −k
r
P
(1)
r Log P
(1)
r
et S 2 = −k
s
P
(2)
s Log P
(2)
s
Pour le système total, le micro-état considéré est caractérisé par le couple d’indices (r, s) et dans
le cas général l’entropie de A est donnée par : S = −k
r,s P r,s Log P r,s , où P r,s est la probabilité
pour A d’accéder au micro-état (r, s) considéré.
1- Montrer que si A 1 et A 2 interagissent très faiblement, i.e. s’ils sont statistiquement indépendants, on a : S = S 1 + S 2 .
2- Dans cette question, les deux systèmes ne sont plus statistiquement indépendants. Dans ce cas
là, on a les relations générales :
P
(1)
r =
s
P r,s et P
(2)
s =
r
P r,s
et les conditions de normalisation
r P
(1)
r = 1 et
s P
(2)
s = 1.
a) Montrer que :
S − (S 1 + S 2 ) = k
r,s
P rs Log
P
(1)
r P
(2)
s
P rs
b) Démontrer sur un graphique l’inégalité Log x x − 1.
c) En déduire dans ce cas que S S 1 + S 2 . À quoi correspond l’égalité ? Quelles sont les
conséquences sur l’entropie de la présence de corrélations entre les deux sous-systèmes ?
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.