Physique statistique
3. Quatre électrons sont répartis sur les niveaux d’énergie à une particule d’un oscillateur harmonique à une dimension. On prend comme origine des énergies le niveau le plus bas. Les niveaux
sont équidistants et non dégénérés. Dans ce repère, l’énergie totale du système de fermions est
6E 0 , où E 0 = v 0 est l’énergie séparant deux niveaux consécutifs du système.
1- Donner les configurations qui sont accessibles au système ainsi que les micro-états (en tenant
compte du spin). Combien y-a-t-il de micro-états ? Quelle est la probabilité pour que le système
soit dans l’un d’entre eux ?
2- On s’intéresse à la composante S z du spin total des électrons. Quelles sont ses valeurs possibles
et quelle est leur distribution de probabilité ?
3- On mesure S z au cours d’expériences successives. Quelle valeur trouvera-t-on le plus souvent ?
Quelle sera la valeur moyenne de la mesure ?
4. Une batterie de force électromotrice (f.e.m) U est branchée sur une résistance R. La puissance
dissipée dans la résistance est P =
U
2
R
. La batterie comprend N cellules individuelles branchées
en série, de sorte que U est simplement la somme des f.e.m. de chacune des cellules. La batterie
est vieille et toutes les cellules ne sont pas en parfait état. Ainsi, il y a seulement une probabilité
p pour que la f.e.m. d’une cellule soit égale à sa valeur normale v et une probabilité 1 − p que
la f.e.m. soit égale à zéro (cellule en court-circuit interne). On suppose que les cellules sont
statistiquement indépendantes les unes des autres. Dans ces conditions, calculer la puissance
moyenne
dissipée dans la résistance R et exprimer le résultat en fonction de N, v et p.
5. Effet de grenaille
Des électrons de charge e sont émis au hasard par le filament chauffé d’un tube à vide. On admet
que l’émission d’un électron quelconque n’affecte pas la probabilité d’émission d’un autre.
1- Soit un intervalle de temps Dt assez petit pour que la probabilité d’émission de plus d’un
électron soit négligeable. On appelle p la probabilité d’émission d’un électron. Quelle est la
probabilité q pour qu’aucun électron ne soit émis pendant le temps Dt ?
2- Soit un intervalle de temps t Dt et N =
t
Dt
le nombre d’intervalles de temps pendant
lesquels un électron peut être émis. La charge totale émise est Q = q 1 + q 2 + . . . + q N où q i = e si
un électron est émis, et q i = 0 si aucun électron n’est émis.
a) Quelle est la charge moyenne émise par le filament pendant le temps t, en fonction
de N, p et e ?
b) Quelle est la dispersion (DQ)
2 exprimée en fonction de N, p, q et e ? En donner une expression simplifiée lorsque p est petit.
c) L’intensité émise pendant le temps t est donnée par I =
Q
t
. Calculer le rapport (DI)
2 /
en fonction de e et t dans le cas où p 1.
d) Ces fluctuations sont connues sous le nom d’effet de grenaille. D’après ce qui précède,
donner les conditions pour lesquelles elles sont les plus importantes. Calculer DI pour un courant
moyen = 1 mA et un temps de mesure t = 1ms.
6. Supposons que N = 10
3 et p = q =
1
2 . Calculer le rapport entre la valeur du maximum de
P(n) et P(0). Que conclure si N = N , le nombre d’Avogadro ?