72
Physique statistique
3.7 PROPRIÉTÉS LIÉES AUX GRANDS NOMBRES
Le nombre de micro-états accessibles à un système macroscopique est gigantesque.
Cela entraîne un certain nombre de simplifications dont la plus importante concerne les
fluctuations des grandeurs macroscopiques qui sont généralement négligeables à notre
échelle. Par conséquent, les mesures faites au niveau macroscopique ne permettent d’observer que la valeur la plus probable des quantités considérées. Nous allons montrer que
cela conduit à des résultats qui peuvent paraître surprenants à première vue.
Revenons à la chaîne de spin que nous avons décrite à la fin de la section 3.6.1. Le
nombre de micro-états accessibles vaut V = 2 N et N est supposé très grand, de l’ordre du
nombre d’Avogadro. S’il n’y a pas de champ magnétique, p = q =
1
2 et on peut remplacer
la distribution binomiale par la distribution de Gauss suivante :
P(n) =
1
√
2ps 2
exp
−
(n− ) 2
2s 2
(94)
où =
N
2
et s
2 =
N
4
. Le nombre de micro-états g(n) correspondant à une valeur de n
donnée vaut g(n) = V P(n) et l’on a bien entendu :
+∞
−∞
g(n) dn = V
+∞
−∞
P(n) dn = V
(95)
Le nombre maximum de micro-états est obtenu lorsque n est égal à la valeur la plus
probable ˜
n =, soit :
˜
g = g(˜ n) =
V
√
2ps 2
(96)
L’entropie du système vaut : S = k Log V = kN Log 2. Calculons la quantité k Log ˜
g :
k Log ˜
g = k Log V − k Log
√
2ps 2
(97)
Si N = N = 6, 02 10 23 , S = 4, 17 10 23 k, alors que k Log
√
2ps 2 = 27, 6k. Le second
terme de l’expression (97) est complètement négligeable devant le premier. On aboutit
donc au résultat surprenant mais important :
S = k Log V ≈ k Log ˜
g
(98)
Le logarithme de la surface sous la courbe g(n) est pratiquement égal au logarithme du
maximum ! Ce résultat provient de ce que P(n) est une fonction très étroite, piquée sur
la valeur ˜
n.